Решение открытого варианта КИМ ЕГЭ 2025 по математике базовый уровень

Задание 1

• $t=40\text{мин.}$
• $S=3\text{км.}$

$S_{\text{за 1 час}}-\text{?км.}$

1. Найдём скорость пешехода (в км/ч):

   переведем минуты в часы: $40\text{мин}=\frac{40}{60}\text{ч}=\frac{2}{3}\text{ч}$

   $V_{\text{пешехода}}=\frac{S}{t}=(3:\frac{2}{3})\text{км/ч}=\frac{3·3}{2}\text{км/ч}=\frac{9}{2}\text{км/ч}=4.5\text{км/ч}$

2. Найдём расстояние пройденное пешеходом за 1 час:

   $S_{\text{за 1ч}}=V·t=4.5\text{км/ч}·1\text{ч}=4.5\text{км}$

Задание 2

Задание 3

Найдём суммарное количество баллов для каждой команды за все эстафеты:

«Непобедимые» = 4 + 4 + 1 = 9 баллов

«Прорыв» = 1 + 2 + 3 = 6 баллов

«Чемпионы» = 2 + 1 + 2 = 5 баллов

«Тайфун» = 3 + 3 + 4 = 10 баллов

Отсортируем команды по суммарным набранным баллам по убыванию:

Команда «Чемпионы» заняла 4 место.

Задание 4

Подставим числа 4, 8, 16 в формулу:

$g=\sqrt[3]{4·8·16}=\sqrt[3]{4·8·8·2}=\sqrt[3]{4·2·8·8}=\sqrt[3]{8·8·8}=\sqrt[3]{8^3}=8$

Задание 5

1. Общее количество участников: $350$.
2. В первых двух аудиториях размещают: $140$ + $140$ = $280$ человек.
3. В запасной аудитории: $350$ − $280$ = $70$ человек.
4. Вероятность ($P$) попадания в запасную аудиторию — это отношение числа участников в ней к общему числу участников:

$P=\frac{70}{350}=\frac{1}{5}=0.2$

Задание 6

1. Рассчитаем стоимость в магазине А:

   $13·290+250=3770+250=4020\text{рублей}$

2. Рассчитаем стоимость в магазине Б:

   $13·280=3640\text{рублей}$

   Сумма заказа 3640 руб. < 4000 руб., поэтому доставка платная:

   $3640+400=4040\text{рублей}$

3. Рассчитаем стоимость в магазине В:

   $13·300=3900\text{рублей}$

   Сумма заказа 3900 руб. > 3500 руб., поэтому доставка бесплатная:

   Итоговая сумма товара с доставкой $3900\text{рублей}$

Наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой в интернет-магазине В за 3900 рублей.

Задание 7

Для решения задачи нужно сопоставить периоды времени с соответствующими продажами холодильников, используя данные с графика.

• А) январь – март

  Продажи: Январь (250), Февраль (250), Март (300).

  Рассмотрим характеристику 1: «в первый и второй месяцы периода было продано одинаковое количество холодильников».

  В январе продано 250, в феврале продано 250. Это соответствует характеристике.

  Таким образом, А -> 1.

• Б) апрель – июнь

  Продажи: Апрель (300), Май (400), Июнь (600).

  Рассмотрим характеристику 4: «ежемесячный объём продаж вырос на 200 холодильников за один месяц».

  С апреля по май рост: 400 — 300 = 100.

  С мая по июнь рост: 600 — 400 = 200. Это соответствует характеристике.

  Таким образом, Б -> 4.

• В) июль – сентябрь

  Продажи: Июль (650), Август (600), Сентябрь (550).

  Рассмотрим характеристику 3: «самое медленное уменьшение ежемесячного объёма продаж».

  Сравним ежемесячные уменьшения в этом периоде и других периодах с уменьшением:

  Период В (июль – сентябрь):

  c июля (650) по август (600): уменьшение на 50.

  с августа (600) по сентябрь (550): уменьшение на 50.

  Период Г (октябрь – декабрь):

  Октябрь (350) -> Ноябрь (200): уменьшение на 150.

  Ноябрь (200) -> Декабрь (100): уменьшение на 100.

  Самое медленное (наименьшее) ежемесячное уменьшение составляет 50 единиц (с июля по сентябрь). Это произошло в периоде В.

  Таким образом, В -> 3.

• Г) октябрь – декабрь

  Продажи: Октябрь (350), Ноябрь (200), Декабрь (100).

  Рассмотрим характеристику 2: «ежемесячный объём продаж уменьшился более чем на 200 холодильников за весь период».

  Уменьшение за весь период: Продажи в октябре (350) — Продажи в декабре (100) = 250.

  250 > 200. Это соответствует характеристике.

  Таким образом, Г -> 2.

Итоговая таблица соответствия:

Задание 8

Проанализируем каждое утверждение:

1. Утверждение 1: «В команде обязательно есть игрок с ростом 220 см»

   Неверно, так как по условию рост всех игроков $<210$ см.

2. Утверждение 2: «В команде нет игроков с ростом 189 см»

   Верно, так как минимальный рост игроков $>190$ см.

3. Утверждение 3: «Рост любого игрока меньше 210 см»

   Верно, это прямо следует из условия задачи.

4. Утверждение 4: «Разница в росте любых двух игроков больше 20 см»

   Неверно, так как по условию задачи рост каждого из волейболистов лежит в диапазоне (190; 210) ⇒ максимальная разница роста между участниками будет меньше 20см.

Верными являются утверждения 2 и 3.

Задание 9

Для наглядности повернем чертеж в задаче на 90 градусов.

1. Изображённый участок представляет собой трапецию. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

   $S=\frac{1}{2}·(a+b)·h$

   где:

   a и b — длины оснований трапеции,

   h — высота трапеции.

2. Измеряем длины по клеткам на плане:
   • Длина основания a: 3 клетки ⇒ $a=3\text{м}$.
   • Длина основания b: 6 клеток ⇒ $b=6\text{м}$.
   • Высота трапеции h: 4 клетки ⇒ $h=4\text{м}$.
3. Теперь подставим эти значения в формулу площади трапеции:

   $S=\frac{1}{2}·(3+6)·4=18{\text{м}}^2$

Задание 10

1. Определим площадь, занимаемую прудом на каждом участке:

   Граница участков проходит через центр пруда, значит, пруд делится пополам между двумя садоводами.

   $S_{\text{половина пруда}}=\frac{140}{2}=70\text{м²}$

2. Вычислим площадь оставшейся части участка:

   Площадь одного участка: $S_{\text{участка}}=20·30=600\text{м²}$

3. Площадь без половины пруда:

   $S_{\text{остаток}}=600-70=530\text{м²}$ площадь оставшейся части участка каждого садовода.

Задание 11

Объем вытесненной жидкости равен объему погруженной детали. Вытесненная жидкость образует параллелепипед с таким же основанием, как у бака, и высотой, равной подъему уровня жидкости.

1. Найдем площадь основания бака.

   Поскольку бак имеет форму правильной четырёхугольной призмы, его основание — квадрат.

   $S_{\text{основания}}=70\text{см}·70\text{см}=4900\text{см²}$

2. Найдем объем вытесненной жидкости (объем детали).

   $V=S_{\text{основания}}·h_{\text{подъема жидкости}}$

   $V=4900\text{см²}·10\text{см}=49000\text{см³}$

   ⇒ Объём детали равен 49000 кубических сантиметров.

Задание 12

В ромбе диагонали перпендикулярны и делятся пополам ⇒ треугольник AOB прямоугольный и $\mathrm{AO}=\mathrm{OC}$.

1. Найдем AO как половина диагонали AC:

   $\mathrm{AO}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{30}{2}=15$

2. Найдем BO по теореме Пифагора:

   ${\left(3\sqrt{34}\right)}^2={15}^2+{\mathrm{BO}}^2$

   $9·34=225+{\mathrm{BO}}^2$

   ${\mathrm{BO}}^2=306-225$

   ${\mathrm{BO}}^2=81\Rightarrow \mathrm{BO}=9$

3. Вычислим тангенс угла BAC. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

   $\mathrm{tg}\mathrm{BAC}=\frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{AO}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0.6$

Задание 13

1. Рассмотрим боковую грань правильной треугольной пирамиды — равнобедренный треугольник BDC со сторонами 13, 13 и 10.

   Найдем высоту h в треугольнике BDC (апофему пирамиды).

   ΔDOC — прямоугольный, $\mathrm{OC}=\frac{1}{2}·\mathrm{BC}=\frac{1}{2}·10=5$ (т.к. высота h в равнобедренном треугольнике BDC является медианой). Найдем h по теореме Пифагора:

   $h^2={13}^2-5^2=169-25=144$$h=\sqrt{144}=12$

2. Вычислим площадь одной боковой грани:

   $S_{\text{грани}}=\frac{1}{2}·\mathrm{BC}·h=\frac{1}{2}·10·12=60$

3. Найдем площадь боковой поверхности (сумма площадей трех граней):

   $S_{\text{бок}}=3·60=180$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна $180$.

Задание 14

1. Сложим дроби в знаменателе:

   $\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=\frac{7+3}{3·7}=\frac{10}{21}$

2. Найдем значение исходного выражения:

   $\frac{1}{\frac{10}{21}}=\frac{21}{10}=2.1$

Задание 15

• Начало года = 800000 человек.
• Конец года = 880000 человек.

На сколько % увеличилось кол-во абонентов?

1. Найдем на какое количество увеличилось абонентов за год:

   $880000-800000=80000$

2. Вычислим процентное увеличение относительно начального количества:

   $\frac{80000}{800000}·100\%=10\%$

Количество абонентов увеличилось на $10\%$.

Задание 16

1. Перепишем выражение в удобной форме:

   $5·{10}^5·1.7·{10}^{-3}=5·1.7·{10}^5·{10}^{-3}$

2. Перемножим числовые коэффициенты:

   $5·1.7=8.5$

3. Сложим показатели степеней 10:

   ${10}^5·{10}^{-3}={10}^{5+(-3)}={10}^2$

4. Объединим результаты:

   $8.5·{10}^2=850$

Задание 17

1. Приведём уравнение к стандартному виду:

   $x^2+11x+28=0$

2. Найдём дискриминант:

   $D={11}^2-4·1·28=121-112=9$

3. Вычислим корни уравнения:

   $x_1=\frac{-11+\sqrt{9}}{2}=\frac{-11+3}{2}=-4$

   $x_2=\frac{-11-\sqrt{9}}{2}=\frac{-11-3}{2}=-7$

4. Выберем меньший корень:

   Из двух корней $-7$ и $-4$ меньшим является $-7$.

Задание 18

Вычислим приближённое значение $m\approx 2.3219$

Вычислим все выражения для чисел:

1. 1) $m-2\approx 2.3219-2\approx 0.3219$
2. 2) $m^2\approx {2.3219}^2\approx 5.3912$
3. 3) $4-m\approx 4-2.3219\approx 1.6781$
4. 4) $\frac{6}{m}\approx \frac{6}{2.3219}\approx 2.5840$

Сопоставим точки с числами по их координатам:

• Точка A (0 < x < 1):

  Подходит только число 1) m-2 ≈ 0.3219 ⇒ A → 1

• Точка B (1 < x < 2):

  Подходит число 3) ≈ 1.6781 ⇒ B → 3

• Точка C (2 < x < 3):

  Подходит число 4) ≈ 2.5840 ⇒ C → 4

• Точка D (5 < x < 6):

  Подходит число 2) ≈ 5.3912 ⇒ D → 2

Заполним таблицу ответов:

Задание 19

Ограничим диапазон поиска:
1. По условию число A трёхзначное и лежит в интервале:

   $350<A<400$

   Значит, возможные значения A: от 351 до 399.

2. Запишем общий вид числа A:

   Все числа в этом диапазоне имеют вид:

   $35x$ или $36x$ или $37x$ или $38x$ или $39x$ , где $x$ — цифра единиц (от 0 до 9).

3. Найдём числа из диапазона 35x удовлетворяющих первому условию:

   Число 352 → Сумма цифр: $3+5+2=10$ (делится на 5) ⇒ подходит;

   Число 357 → Сумма цифр: $3+5+7=15$ (делится на 5) ⇒ подходит

4. Проверим найденные числа на второе условие:

   Число $352$:

   • $352+4=356$
   • Сумма цифр: $3+5+6=14$ (не делится на 5) ⇒ не подходит.

   Число $357$:

   • $357+4=361$
   • Сумма цифр: $3+6+1=10$ (делится на 5) ⇒ подходит

Одно из подходящих чисел: $357$.

Задание 20

1. Найдём массу вещества в первом растворе:

   $4\mathrm{кг}·0.20=0.8\mathrm{кг}$

2. Найдём массу вещества во втором растворе:

   $6\mathrm{кг}·0.35=2.1\mathrm{кг}$

3. Вычислим общую массу смеси:

   $4\mathrm{кг}+6\mathrm{кг}=10\mathrm{кг}$

4. Найдём общую массу вещества в смеси:

   $0.8\mathrm{кг}+2.1\mathrm{кг}=2.9\mathrm{кг}$

5. Вычислим концентрацию получившегося раствора:

   $\frac{2.9}{10}·100\%=29\%$

Концентрация получившегося раствора составляет $29\%$.

Задание 21

1. Введём переменную:

   Пусть $x$ — количество совершённых обменов.

2. Составим уравнение для общего количества фишек:

   Изначально у Пети было 150 фишек. После каждого обмена он отдает 11 маленьких фишек и получает 4 больших, то есть общее количество фишек уменьшается на:

   $11-4=7$ фишек.

   После $x$ обменов количество фишек стало:

   $150-7x=73$

3. Решим уравнение:

   $150-7x=73$

   $7x=150-73$

   $7x=77$

   $x=11$

Петя совершил $11$ обменов.

На странице представлены решения заданий из открытого варианта КИМ ЕГЭ 2025 по математике для базового уровня.
С текстами задач открытого варианта можно ознакомится на сайте ФИПИ https://fipi.ru/ege/otkrytyy-bank-zadaniy-ege/otkrytyye-varianty-kim-ege#!/tab/310119616-2