Решение демоверсии ОГЭ 2025 по математике

Часть 1

Прочитайте внимательно текст и выполните задания 1–5.

Автомобильное колесо представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис. 1). Первое число означает ширину шины B в миллиметрах. Следующее число означает высоту боковины шины H в процентах ширины. В приведённом примере ширина шины равна 195 мм, а высота боковины равна 65 % от 195, то есть 126,75 мм.

Буква обозначает тип конструкции шины. Буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в шине расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.

За буквой указан диаметр диска d в дюймах. На рисунке шина рассчитана на диск диаметром 15 дюймов. В одном дюйме 25,4 мм.

Таким образом, зная маркировку шины, можно найти общий диаметр колеса D.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 165/70 R13.

Задание 1 (пример 1)

Завод допускает установку шин разных размеров. В таблице показаны разрешённые размеры шин.

Ширина шины (мм)	Диаметр диска (дюймы)
	13	14	15
165	165/70	165/65	—
175	175/65	175/65; 175/60	—
185	185/65; 185/60	185/60	185/55
195	195/60	195/55	195/55; 195/50

Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах.

Решение: Ответ: $185$

Задание 2

На сколько миллиметров радиус колеса с шиной 205/55 R14 больше, чем радиус колеса с шиной 165/65 R14?

Решение: Ответ: $5.5$

Задание 3

На сколько миллиметров увеличится диаметр колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 195/50 R15?

Решение: Ответ: $14.8$

Задание 4

Найдите диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода. Ответ дайте в миллиметрах.

Решение: Ответ: $561.2$

Задание 5

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами 175/60 R14? Результат округлите до десятых.

Решение: Ответ: $0.8$

Задание 6

Представьте выражение $\frac{3}{5}-\frac{2}{7}$ в виде дроби со знаменателем 70. В ответ запишите числитель полученной дроби.

Решение: Ответ: $22$

Задание 7

Одно из чисел $\frac{5}{9};\frac{11}{9};\frac{13}{9};\frac{14}{9}$ отмечено на прямой точкой.

Какое это число?

Решение: Ответ: $1$

Задание 8

Найдите значение выражения $\frac{a^{14}·{\left(b^4\right)}^3}{{(a·b)}^{12}}$при $a=3\text{и}b=\sqrt{3}$.

Решение: Ответ: $9$

Задание 9

Решите уравнение$2x^2-3x+1=0$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение: Ответ: $0.5$

Задание 10

В магазине канцтоваров в продаже 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных, 17 фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка окажется красной или чёрной.

Решение: Ответ: $0.56$

Задание 11

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) $y=-x^2-x+5$

Б) $y=-\frac{3}{4}x-1$

В) $y=-\frac{12}{x}$

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А	Б	В

Решение: Ответ: $123$

Задание 12

Энергия заряженного конденсатора W (в джоулях) вычисляется по формуле $W=\frac{C{U}^2}{2}$, где C — ёмкость конденсатора (в фарадах), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в вольтах). Найдите энергию конденсатора ёмкостью ${10}^{-4}$ фарад, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 12 вольт. Ответ дайте в джоулях.

Решение: Ответ: $0.0072$

Задание 13

Найдите множество решений системы неравенств:

$\{\begin{array}{c}-8+4x>0\\ 4-3x>-8\end{array}$

1. нет решений
2. $(-\infty ;4)$
3. $(2;+\infty )$
4. $(2;4)$

Решение: Ответ: $4$

Задание 14

Камень бросают в глубокое ущелье. За первую секунду он пролетает 6 м, а за каждую следующую секунду на 10 м больше, чем за предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые 5 секунд?

Решение: Ответ: $130$

Задание 15

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение: Ответ: $66$

Задание 16

В треугольнике ABC угол C равен 45°, $\mathrm{AB}=6\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение: Ответ: $6$

Задание 17

В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8, а один из углов между боковой стороной и основанием равен 45°. Найдите площадь этой трапеции.

Решение: Ответ: $15$

Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Решение: Ответ: $4$

Задание 19

Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2. Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является ромбом.
3. Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение: Ответ: $13$

Часть 2

Задание 20

Решите неравенство $-\frac{12}{x^2-7x-8}\le 0$

Решение: Ответ: $(-\infty ;-1)\cup (8;+\infty )$

Задание 21

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61 % кислоты. Сколько процентов кислоты содержится в первом растворе?

Решение: Ответ: $87$

Задание 22

Постройте график функции $y=\frac{x^4-13x^2+36}{(x-3)(x+2)}$и определите, при каких значениях $c$ прямая $y=c$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Решение: Ответ: $\text{при}c=-4;c=6;c=-6.25\mathrm{}$

Задание 23

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: $\mathrm{AC}=6,\mathrm{BC}=8$. Найдите медиану CK этого треугольника.

Решение: Ответ: $5$

Задание 24

На средней линии трапеции ABCD с основаниями AD и BC выбрали произвольную точку E. Докажите, что сумма площадей треугольников BEC и AED равна половине площади трапеции.

Решение: Ответ: доказано

Задание 25

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Решение: Ответ: $4.5$