Решение демоверсии ЕГЭ 2026 по математике профильный уровень

Часть 1

Задание 1 (пример 1)

Текст задачи:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен ${103}^{°}$, угол CAD равен ${42}^{°}$. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение: Ответ: $61$

Задание 1 (пример 2)

Текст задачи:

Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Решение: Ответ: $18$

Задание 1 (пример 3)

Текст задачи:

Острый угол B прямоугольного треугольника ABC равен ${65}^{°}$. Найдите величину угла между высотой CH и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Ответ дайте в градусах.

Решение: Ответ: $40$

Задание 1 (пример 4)

Текст задачи:

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение: Ответ: $5$

Задание 2 (пример 1)

Текст задачи:

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}\text{и}\overrightarrow{b}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$.

Решение: Ответ: $12$

Задание 2 (пример 2)

Текст задачи:

Даны векторы $\overrightarrow{a}(2;0)$ и $\overrightarrow{b}(1;4)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}$.

Решение: Ответ: $13$

Задание 2 (пример 3)

Текст задачи:

Даны векторы $\overrightarrow{a}(5;4)$ и $\overrightarrow{b}(8;-9)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$.

Решение: Ответ: $4$

Задание 3 (пример 1)

Текст задачи:

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Решение: Ответ: $1.125$

Задание 3 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,B,C,D,A_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$, у которого $AB=3$, $AD=9$, $A{A}_1=4$.

Решение: Ответ: $36$

Задание 3 (пример 3)

Текст задачи:

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Решение: Ответ: $104$

Задание 3 (пример 4)

Текст задачи:

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2}$. Найдите радиус сферы.

Решение: Ответ: $9$

Задание 4 (пример 1)

Текст задачи:

В группе туристов 50 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В., входящий в состав группы, полетит первым рейсом вертолёта.

Решение: Ответ: $0.1$

Задание 4 (пример 2)

Текст задачи:

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0.94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0.56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

Решение: Ответ: $0.38$

Задание 4 (пример 3)

Текст задачи:

На конференцию приехали учёные из трёх стран: 3 из Дании, 4 из Венгрии и 3 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что седьмым окажется доклад учёного из Болгарии.

Решение: Ответ: $0.3$

Задание 5 (пример 1)

Текст задачи:

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0.7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Решение: Ответ: $0.657$

Задание 5 (пример 2)

Текст задачи:

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Решение: Ответ: $0.15$

Задание 5 (пример 3)

Текст задачи:

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0.95. Вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, равна 0.84. Найдите вероятность того, что масса буханки окажется больше 790 г, но меньше 810 г.

Решение: Ответ: $0.79$

Задание 5 (пример 4)

Текст задачи:

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0.2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах, равна 0.18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Решение: Ответ: $0.78$

Задание 6 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{3-x}=81$

Решение: Ответ: $7$

Задание 6 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения $\sqrt{44-5x}=3$

Решение: Ответ: $7$

Задание 6 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения ${\log }_8(5x+47)=3$

Решение: Ответ: $93$

Задание 6 (пример 4)

Текст задачи:

Решите уравнение $\sqrt{2x+3}=x$. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Решение: Ответ: $3$

Задание 7 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите значение выражения $3\sin \frac{13\pi }{12}\cdot \cos \frac{13\pi }{12}$

Решение: Ответ: $0.75$

Задание 7 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите значение выражения $\frac{{\log }_{7}32}{{\log }_{7}2}$

Решение: Ответ: $5$

Задание 7 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите значение выражения ${25}^{2\sqrt{8}+3}\cdot 5^{-3-4\sqrt{8}}$

Решение: Ответ: $125$

Задание 8 (пример 1)

Текст задачи:

На рисунке изображён график $y=f^{\prime }(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале (-12; 12). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-6; 11].

Решение: Ответ: $5$

Задание 8 (пример 2)

Текст задачи:

На рисунке изображён график $y=f^{\prime }(x)$ производной функции $f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,x_9,x_{10}$. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции $f(x)$?

Решение: Ответ: $6$

Задание 8 (пример 3)

Текст задачи:

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение: Ответ: $1.6$

Задание 9 (пример 1)

Текст задачи:

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью $v_0=90км/ч$, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $a=16{\text{км/ч}}^2$. Расстояние (в км) от мотоциклиста до города вычисляется по формуле $S=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$ где t — время в часах, прошедшее после выезда из города. Определите время, прошедшее после выезда мотоциклиста из города, если известно, что за это время он удалился от города на 72 км. Ответ дайте в минутах.

Решение: Ответ: $45$

Задание 9 (пример 2)

Текст задачи:

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой $f_0=295\text{Гц}$. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону $f(v)=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$ (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $c=300\text{м/с}$. Ответ дайте в м/с.

Решение: Ответ: $5$

Задание 9 (пример 3)

Текст задачи:

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a (в км/ч² ). Скорость v (в км/ч) вычисляется по формуле $v=\sqrt{2la}$ , где l — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0.5 км, развить скорость 70 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

Решение: Ответ: $4900$

Задание 10 (пример 1)

Текст задачи:

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним со скоростью на 2 км/ч больше отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт B он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Решение: Ответ: $19$

Задание 10 (пример 2)

Текст задачи:

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение: Ответ: $15$

Задание 10 (пример 3)

Текст задачи:

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

Решение: Ответ: $8$

Задание 11 (пример 1)

Текст задачи:

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=\frac{k}{x}$. Найдите значение $f(30)$.

Решение: Ответ: $0.1$

Задание 11 (пример 2)

Текст задачи:

На рисунке изображены графики функций $f(x)=a{x}^2+bx+c\text{и}g(x)=kx$, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Решение: Ответ: $5$

Задание 11 (пример 3)

Текст задачи:

На рисунке изображён график функции вида $f(x)=a^x$. Найдите значение $f(5)$.

Решение: Ответ: $32$

Задание 12 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите точку максимума функции $y=9\cdot \ln (x-4)-9x-7$.

Решение: Ответ: $5$

Задание 12 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите точку максимума функции $y=(x+8{)}^2\cdot e^{3-x}$.

Решение: Ответ: $-6$

Задание 12 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2+256}$

Решение: Ответ: $16$

Задание 12 (пример 4)

Текст задачи:

Найдите точку максимума функции $y=x^3+27x^2+11$.

Решение: Ответ: $-18$

---

Часть 2

Задание 13 (пример 1)

Текст задачи:

• а) Решите уравнение $2{\sin }^{3}x=\sqrt{2}{\cos }^{2}x+2sinx$
• б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[-4\pi ;-\frac{5\pi }{2}]$

Решение: Ответ:

• а) $\frac{\pi }{2}+\pi n;-\frac{\pi }{4}+2\pi n;-\frac{3\pi }{4}+2\pi n;n\in Z$
• б) $-\frac{7\pi }{2};-\frac{11\pi }{4};-\frac{5\pi }{2}$