Решение демоверсии ОГЭ 2024 по математике

Часть 1

На плане изображено домохозяйство по адресу: с. Авдеево, 3-й Поперечный пер., д. 13 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м).
Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева – гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв. м.
Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки.
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1м×1м . Между баней и гаражом имеется площадка
площадью 64 кв. м, вымощенная такой же плиткой.
К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

Задание №1

Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите
последовательность четырёх цифр.

Решение:
6 — баня
7 — гараж
3 — дом
4 — сарай
2 — огород
1 — теплица
5 — яблоня

Ответ: 3461

Задание №2

Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось купить, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом?
Решение:
S_гаража = 32м²
Плитка 1м × 1м
S_{площадки} = 64м²
1 упаковка — 4 штуки (плитки)
? упаковок — все дорожки + площадка
На площадку — 64 плитки
На дорожки — 26 плиток
Всего потребуется 64 + 26 = 90 плиток
90 : 4 = 22.5 ⇒ 23 упаковки понадобилось
Ответ: 23

Задание №3

Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах.
Решение:
S_дома — ? м²
Дом содержит 17 клеток
S _{1 клетки} = 2м² × 2м² = 4 м²
S _дома = 17 × 4 = 68 м²
Ответ: 68

Задание №4

Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах.
Решение:
S _{от дома до гаража} — ? м

S = √4² + 3² = 5 клеток
S = 5 клеток × 2 м = 10 м
Ответ: 10

Задание №5

Хозяин участка планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице.

Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия
от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости установки газового и электрического отопления?
Решение:
1) Газ (по таблице) 24000 руб + 18280 руб = 42280 руб.
1.2 м³/ч × 5.6 руб/м³ = 6.72 руб.

2) Электричество (по таблице)
20000 руб + 15000 руб = 35000 руб
5.6 кВт × 3.8 руб/кВт⋅ч = 21.28 руб

3) Разница в 42280 руб — 35000 руб = 7280 руб оборудование
21.28 руб — 6,72 руб = 14.56 руб к оплате
7280 : 14.56 = 500 (ч) экономия
Ответ: 500

Задание №6

Найдите значение выражения 56 — 314. Представьте результат в виде несократимой обыкновенной дроби. В ответ запишите числитель этой дроби.
Решение:
56 — 314 = 35 — 942 = 2642 = 1321
Ответ: 13

Задание №7

На координатной прямой отмечена точка А.

Известно, что она соответствует одному из четырёх указанных ниже чисел.
Какому из чисел соответствует точка А?
1) 18116
2) √37
3) 0.6
4) 4
Решение:
1) 18116 = 11516 > 10 ⇒ не точка A
2) 6 < √37 < 7 ⇒ точка A

Ответ: 2

Задание №8

Найдите значение выражения a^-7 × (a⁵)² при a = 5.
Решение:
a^-7 × (a⁵)² = a^-7 × a¹⁰ = a^{-7 + 10} = a³
при a = 5
5³ = 5 × 5 × 5 = 125
Ответ: 125

Задание №9

Решите уравнение x² + x − 12 = 0.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.
Решение:
x² + x − 12 = 0        по теореме Виета

x₁ + x₂ = -1
x₁ × x₂ = -12
Подбором

-4 + 3 = -1
-4 × 3 = -12
x₁ = -4        x₂ = 3 — больший корень системы уравнений
Ответ: 3

Задание №10

На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками.
Решение:
С мясом — 4 шт.
С капустой — 8 шт.
С яблоком — 3шт.

P _{с яблоком} = 34 + 8 + 3 = 315 = 15 = 0.2
Ответ: 0.2

Задание №1

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
Графики

Формулы
1) y = x²
2) y = x2
3) y = 2x
В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение:
А) парабола ⇒ 1) y = x²
Б) гипербола ⇒ 3) y = 2x
В) прямая ⇒ 2) y = x2 = 12x
Ответ: 132

Задание №12

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой t_F =1,8t_C + 32, где t_C – температура в градусах Цельсия, t_F – температура в градусах Фаренгейта. Скольким градусам по шкале Фаренгейта соответствует −25 градусов по шкале Цельсия?
Решение:
t_F = 1.8t_c + 32        t_c= -25°        t_F — ?
t_F = 1.8 × (-25) + 32 = -45 + 32 = -13
Ответ: -13

Задание №13

Укажите решение системы неравенств

x + 2.6 ≤ 0
x + 5 ≥ 1

Решение:

x + 2.6 ≤ 0
x + 5 ≥ 1

x ≤ -2.6
x ≥ 1 — 5

x ≤ -2.6
x ≥ -4

2) [-4; -2.6]
Ответ: 2

Задание №14

Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика на пятый день?
Решение:
(a_n) — арифметическая прогрессия
a₁ = 30        S₁₅ = 975        a₅ — ?
1) S_n = 2a₁ + d(n — 1)2 × n
975 = 2 × 30 + d(15 — 1)2 × 15        | :15
65 = 60 + 14d2        | ×2
130 = 60 + 14d
14d = 130 — 60 = 70
d = 70 : 14 = 5

2) a₅ = a₁ + d × (n — 1)
a₅ = 30 + 5 × (5 — 1)
a₅ = 30 + 5 × 4 = 30 + 20
a₅ = 50
Ответ: 50

Задание №15

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ВАС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1) ∠ A = ∠ C (углы при основании AC)
2) ∠ C = 180° — 123° = 57° (смежные углы)

Ответ: 57

Задание №16

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

Решение:

R = 13        h = 5        AB — ?
1) Δ AOH (∠ H = 90°)
AH = √13² — 5² = 12 по теореме Пифагора

2) AB = 2AH = 2 — 12 = 24
Свойство высоты равнобедренного треугольника.
Ответ: 24

Задание №17

Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

Решение:

S _{трапеции} — ?
S = AD + BC2 × BH
S = (9 + 12) + 72 × 12
S = 282 × 12 = 14 × 12 = 168
Ответ: 168

Задание №18

Найдите тангенс острого угла, изображённого на рисунке.

Решение:

tg BAH — ?
BH ⊥ AH
Δ ABH (∠ H = 90°)
tg A = BHAH = 42 = 2
Ответ: 2

Задание №19

Какие из следующих утверждений верны?
1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3) В любом параллелограмме есть два равных угла.
В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Решение:
1) 
A ∉ a        a || a₁ верно

2) a = 1        b = 2        c = 4
4 < 1 + 2
4 < 3 неравенство треугольников неверно

3) 

∠ A = ∠ C
∠ B = ∠ D верно

Ответ: 13

Часть 2. Задание №1

Решите уравнение
x⁴ = (4x − 5)²
Решение:
x⁴ = (4x — 5)²
(x²)² — (4x — 5)² = 0
(x² — (4x — 5))(x² + (4x — 5)) = 0
(x² — 4x + 5)(x² + 4x — 5) = 0
x² — 4x + 5 = 0
D = 16 — 20 < 0 нет корней
или x² + 4x — 5 = 0
по теореме Виета
x₁ = -5        x₂ = 1
Ответ: -5; 1

Задание №21

Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч,
а собственная скорость лодки равна 6 км/ч?
Решение:

t _{по течению} + t _{против течения} = (10ч — 5ч) — 2ч = 3ч
x8 + x4 = 3 | ×8
x + 2x = 24
3x = 24
x = 24 : 3 = 8
Значит, 8 км отплыл от пристани.
Ответ: 8

Задание №22

Постройте график функции
y = x⁴ — 13x² + 36(x — 3)(x + 2)
и определите, при каких значениях с прямая y =c имеет с графиком ровно одну общую точку.
Решение:
y = x⁴ — 13x² + 36(x — 3)(x + 2)        c — ?        y = c одна общая точка
1) Разложим числитель на множители (x²)² — 13x² + 36
Пусть x² = t, тогда t² — 13t + 36
D = 169 — 4 × 36 = 169 — 144 = 25
t₁ = 13 — 52 = 4
t₂ = 13 + 52 = 9
t² — 13t + 36 = (t — 4)(t — 9) = (x² — 4)(x² — 9) = (x — 2)(x + 2)(x — 3)(x + 3)

2) Преобразуем (дробь) функцию
y = (x — 2)(x + 2)(x — 3)(x + 3)(x — 3)(x + 2)
x ≠ -2
x ≠ 3
y = (x — 2)(x + 3) = x² — 2x + 3x — 6
y = x² + x — 6

3) Построим график
x₀ = —b2a = —12
y₀ = (-12)² — 12 — 6
y₀ = -6.25
(-0.5; -6.25) вершина параболы
Найдём точки пересечения с OX: y = 0
x² + x — 6 = 0
x₁ = -3
x₂ = 2
(-3; 0) и (2; 0)

Ответ: при c = -6.25
c = -4
c = 6
прямая y = c имеет с графиком ровно одну общую точку.

Задание №23

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты:
AC = 6, BC=8. Найдите медиану CK этого треугольника.
Решение:

1) CK = 12AB = AK = KB
2) AB = √6² + 8²
AB = √100 = 10
3) CK = 12 × 10 = 5
Ответ: 5

Задание №24

В параллелограмме ABCD точка E – середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм – прямоугольник.
Решение:

Доказать, что ABCD — прямоугольник.
Доказательство:
1) Δ ADE = Δ CBE (равны по трем сторонам)
2) ∠ DAE = ∠ CBE (из равенства треугольников)
3) ∠ A + ∠ B = 180° (свойство параллелограмма)
4) ∠ A = ∠ B = 180° : 2 = 90° ⇒ ABCD — прямоугольник, что и требовалось доказать.
Ответ: ABCD — прямоугольник

Задание №25

Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиусом 8 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Решение:

Дано: Δ ABC — равнобедренный
AC — основание
AC = 12
R = 8 = OM
Найти: r = O₁M

1) M — середина AC ⇒ AM = MC = 6
2) O ∈ биссектрисе AO, O₁ ∈ биссектрисе AO₁
AO ∩ AO₁ = A, ∠ OAO₁ = 90°
3) Δ AOO₁, ∠ A = 90°        AM — высота ⇒ AM = √MO₁ × MO
AM² = MO₁ × MO
6² = MO₁ × 8
MO₁ = 368 = 4.5
Ответ: 4.5

Задания взяты из демонстрационного варианта ОГЭ по математике 2024 с сайта ФИПИ https://fipi.ru/oge/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/173801626-2

Файлы для скачивания:

• Демонстрационный вариант Скачать
• Спецификация Скачать
• Кодификатор Скачать