Решение демоверсии ЕГЭ 2025 по математике профильный уровень

Часть 1

Задание 1 (пример 1)

Текст задачи:

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• ABCD вписан в окружность;
• ∠ABC = 103°;
• ∠CAD = 42°

Найти:

∠ABD

Решение:

1. ∠CAD = ∠CBD = 42° т.к. вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу CD, равны.
2. ∠ABD = 103° − 42° = 61°

Ответ: 61

Задание 1 (пример 2)

Текст задачи:

Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Дано:

• ABCD параллелограмм;
• $S_{\mathrm{ABCD}}=24$;
• E — середина AD.

Найти:

$S_{\mathrm{BCDE}}$

Решение:

1. BD — медиана треугольника ABD $\Rightarrow S_{\mathrm{ABE}}=S_{\mathrm{BDE}}=\frac{1}{4}·S_{\mathrm{ABCD}}=\frac{1}{4}·24=6$
2. $S_{\mathrm{BCDE}}=\frac{3}{4}·S_{\mathrm{ABCD}}=\frac{3}{4}·24=18$

Ответ: 18

Задание 1 (пример 3)

Текст задачи:

В треугольнике ABC стороны AC и ВC равны, угол C равен 134° , угол CBD — внешний. Найдите угол CBD . Ответ дайте в градусах.

Дано:

• ΔABC, AC = BC
• ∠C = 134°
• ∠CBD — внешний

Найти:

∠CBD

Решение:

1. ΔABC — равнобедренный ⇒ ∠A = ∠B = (180° − 134°) : 2 = 23°
2. ∠CBD = 180° − 23° = 157° (свойство смежных углов)

Ответ: 157

Задание 1 (пример 4)

Текст задачи:

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Дано:

• ABCD — трапеция;
• AD = 10;
• BC = 4;
• MN — средняя линия;
• BD — диагональ.

Найти:

MO

Решение:

1. AD > BC ⇒ MO > NO
2. MO — средняя линия треугольника ABD ⇒ $\mathrm{MO}=\frac{1}{2}·\mathrm{AD}=\frac{1}{2}·10=5$

Ответ: 5

---

Задание 2 (пример 1)

Текст задачи:

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{b}$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}\text{.}$

Дано:

$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$

Найти:

$\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}$

Решение:

1. Пусть $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{A_1{A}_2}$ и $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{B_1{B}_2}$, тогда

   $\overrightarrow{A_1{A}_2}\{5-1;8-2\}=\overrightarrow{A_1{A}_2}\{4;6\}$

   $\overrightarrow{B_1{B}_2}\{11-5;3-5\}=\overrightarrow{B_1{B}_2}\{6;-2\}$

2. $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{A_1{A}_2}·\overrightarrow{B_1{B}_2}=4·6+6·(-2)=24-12=12$

Ответ: 12

---

Задание 2 (пример 2)

Текст задачи:

Даны векторы $\overrightarrow{a}(25;0)$ и $\overrightarrow{b}(1;-5)$. Найдите длину вектора $\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}$.

Дано:

• $\overrightarrow{a}\{25;0\}$
• $\overrightarrow{a}\{1;-5\}$

Найти:

Длину $|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}|$

Решение:

1. $4\overrightarrow{b}\{4·1;4·(-5)\}=\{4;-20\}$
2. $\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\{25-4;0-(-20)\}=\{21;20\}$
3. $|\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}|=\sqrt{{21}^2+{20}^2}=\sqrt{441+400}=\sqrt{841}=29$

Ответ: 29

---

Задание 3 (пример 1)

Текст задачи:

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Дано:

• Цилиндр 1: R, 2h
• Цилиндр 2: 1.5R, h

Найти:

$\frac{V_2}{V_1}$

Решение:

$V_{\text{цилиндра}}=\pi R^{2}h$

$\begin{array}{c}{V}_1=\pi R^2·2h\\ V_2=\pi {\left(1.5R\right)}^2·2h\end{array}|\Rightarrow \frac{V_2}{V_1}=\frac{\pi ·2.25R^{2}h}{\pi R^2·2h}$

$\frac{V_2}{V_1}=\frac{2.25}{2}=1.125$

Ответ: 1.125

Задание 3 (пример 2)

Текст задачи:

Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Дано:

• $P_{\text{ABCD}}$ — правильная пирамида;
• $a_4=10;l=13$

Найти:

$S_{\text{поверх.}}$

Решение:

$S_{\text{поверх.}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}$

1. $S_{\text{осн}}=S_{\text{ABCD}}=10·10=1000$
2. $S_{\text{бок}}=p·d$,

   где полупериметр основания,

   d — апофема (высота боковой грани).

3. $\Delta \text{PCH}(\angle H=90°)$ по теореме Пифагора $\Rightarrow d=\text{PH}=\sqrt{{13}^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$
4. $S_{\text{бок}}=20·12=240$
5. $S_{\text{полн}}=100+240=340$

Ответ: 340

Задание 3 (пример 3)

Текст задачи:

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Дано:

• конус, h — высота;
• $\frac{1}{3}·h$ — высота жидкости;
• $V_{\text{жидкости}}=4\text{мм.}$

Найти:

$\Delta V\text{долить жидкости}$

Решение:

1. $\frac{V_{\text{жидк.}}}{V_{\text{кон.}}}=k^3={\left(\frac{\frac{1}{3}·h}{h}\right)}^3=\frac{1}{27}$
2. $\frac{4}{V_{\text{кон}}}=\frac{1}{27}\Rightarrow V_{\text{кон}}=4·27=108$
3. $\Delta V=108-4=104$

Ответ: 104

---

Задание 4 (пример 1)

Текст задачи:

В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

Решение:

$\begin{array}{c}\text{Всего — 20 чел.}\\ \text{Выбирают — 7 чел.}\end{array}|\Rightarrow P=\frac{7}{20}=0.35$

Ответ: 0.35

Задание 4 (пример 2)

Текст задачи:

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.

Решение:

$\begin{array}{c}{P}_{\text{меньше 20}}=0.94\\ P_{\text{меньше 15}}=0.56\end{array}|\Rightarrow P_{[15;20]}=0.94-0.56=0.38$

Ответ: 0.38

---

Задание 5 (пример 1)

Текст задачи:

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?

Решение:

Всего — 3 лампочки.

$P_{\text{перегорит}}=0.2\Rightarrow P_{\text{не перегорит}}=1-0.2=0.8$

$P_{\text{хоть бы одна не перегорит}}=1-0.2·0.2·0.2=1-0.008=0.992$ противоположно тому, что ни одна не перегорит.

Ответ: 0.992

Задание 5 (пример 2)

Текст задачи:

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Дано:

$\begin{array}{c}\text{Синие — 5 шт}\\ \text{Красные — 9 шт}\\ \text{Зеленые — 11 шт}\end{array}\}25\text{шт}$

Найти:

Вероятность выбора 2 шт: 1 синий + 1 красный

Решение:

1. Если первым возьмут синий, а вторым возьмут красный фломастеры, то $P_1=\frac{5}{25}·\frac{9}{25-1}=\frac{5}{25}·\frac{9}{24}$
2. Если первым возьмут красный, а вторым возьмут синий фломастеры, то $P_2=\frac{9}{25}·\frac{5}{24}=\frac{9}{25}·\frac{5}{25-1}$
3. $P=P_1+P_2=\frac{5}{25}·\frac{9}{24}+\frac{9}{25}·\frac{5}{24}$
   $P=\frac{5}{25}·\frac{5}{24}·(\frac{9}{5}+\frac{9}{5})=\frac{5·5·18}{25·24·5}$
   $P=\frac{1·1·3}{5·4·1}=\frac{3}{20}=\frac{15}{100}=0.15$

Ответ: 0.15

---

Задание 6 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения $4^{x-7}=\frac{1}{64}$

Решение:

$4^{x-7}=\frac{1}{64}$

$4^{x-7}=4^{-3}$

$x-7=-3$

$x=7-3$

$x=4$

Ответ: 4

Задание 6 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения $\sqrt{3x+49}=10$

Решение:

$\sqrt{3x+49}=10$

${\left(\sqrt{3x+49}\right)}^2={10}^2$

$3x+49=100$

$3x=100-49$

$3x=51$

$x=51:3$

$x=17$

Ответ: 17

Задание 6 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите корень уравнения ${\log }_8(5x+47)=3$

Решение:

${\log }_8(5x+47)=3$

$5x+47=8^3$

$5x+47=512$

$5x=512-47$

$5x=465$

$x=465:5$

$x=93$

Ответ: 93

Задание 6 (пример 4)

Текст задачи:

Решите уравнение $\sqrt{2x+3}=x$. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.

Решение:

$\sqrt{2x+3}=x,x\ge 0$

${\left(\sqrt{2x+3}\right)}^2=x^2$

$2x+3=x^2$

$x^2-2x-3=0,x_1=-1,x_2=3$ по теореме Виета

$-1<0\Rightarrow \text{не корень}$

Ответ: 3

---

Задание 7 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите значение выражения $3\cos 2\alpha$, если $\sin \alpha =0.2$

Дано:

$\sin \alpha =0.2$

Найти:

$3\cos 2\alpha$

Решение:

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

1. $\cos 2\alpha =1-2·{0.2}^2=1-2·0.04$
   $\cos 2\alpha =1-0.08=0.92$
2. $3\cos 2\alpha =3·0.92=2.76$

Ответ: 2.76

Задание 7 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите значение выражения $\frac{{\log }_{9}28}{{\log }_{9}7}+{\log }_7\frac{7}{4}$

Решение:

$\frac{{\log }_{9}28}{{\log }_{9}7}+{\log }_7\frac{7}{4}={\log }_{7}28+{\log }_{7}7-{\log }_{7}4=$
$={\log }_7(4·7)+1-{\log }_{7}4=$
$={\log }_{7}4+{\log }_{7}7+1-{\log }_{7}4=1+1=2$

Ответ: 2

Задание 7 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите значение выражения ${25}^{2\sqrt{8}+3}·5^{-3-4\sqrt{8}}$

Решение:

${25}^{2\sqrt{8}+3}·5^{-3-4\sqrt{8}}=$
$=5^{2·(2\sqrt{8}+3)}·5^{-3-4\sqrt{8}}=$
$=5^{4\sqrt{8}+6-3-4\sqrt{8}}=5^3=125$

Ответ: 125

---

Задание 8 (пример 1)

Текст задачи:

На рисунке изображён график y = f'(x) производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?

Решение:

f(x) возрастает ⇒ по рисунку f'(x) > 0 (график выше 0x) в точках: x₂, x₃, x₅, x₆, x₉, x₁₀. Таких точек 6.

Ответ: 6

Задание 8 (пример 2)

Текст задачи:

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x⁰. Найдите значение производной функции f(x) в точке x⁰.

Решение:

Пусть A(2; 3), B(7; -4), тогда
$f‘\left(x_0\right)=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4-3}{7-2}=\frac{-7}{5}=-1.4$

Ответ: -1.4

---

Задание 9

Текст задачи:

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f0 = 295 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза v (в м/с) и изменяется по закону
$f\left(v\right)$$=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$(Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а с = 300 м/с. Ответ дайте в м/с.

Дано:

• $f\left(v\right)$$=\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}$
• $f_0=295\text{Гц}$
• $f>f_0$, $c=300\text{м/с}$
• $f\left(v\right)\ge 5\text{Гц}$

Найти:

$v\text{м/с}$

Решение:

• $f\left(v\right)-f_0\ge 5$
• $\frac{f_0}{1-\frac{v}{c}}-f_0\ge 5$
• Подставим числа
• $\frac{295}{1-\frac{v}{300}}-295\ge 5$
• $\frac{295}{1-\frac{v}{300}}\ge 300|:5$
• $\frac{59}{1-\frac{v}{300}}\ge 60$
• $\frac{59}{1-\frac{v}{300}}-60\ge 0$
• $\frac{59}{\frac{300-v}{300}}-60\ge 0$
• $\frac{300·59}{300-v}-60\ge 0$
• $\frac{300·59-60·(300-v)}{300-v}\ge 0$
• $\frac{300·59-18000+60v}{300-v}\ge 0$
• $\frac{17700-18000+60v}{300-v}\ge 0$
• $\frac{-300+60v}{300-v}\ge 0$
• $\frac{60v-300+}{v-300}\le 0$

$\{\begin{array}{ccc}-300+60v=0,& 60v=300,& v=5\\ 300-v\ne 0,& v\ne 300\end{array}$

$\Rightarrow v_{\text{min}}=5\text{м/с}$

Ответ: 5

Задание 10 (пример 1)

Текст задачи:

Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

	$v$	$t$	$S$
по течению	$x+1$	$\frac{143}{x+1}$	143 км
против течения	$x-1$	$\frac{143}{x-1}$	143 км

$v_{\text{собственная}}=x\text{км/ч}$

$t_{\text{по течению}}<t_{\text{против течения}}\text{на 2 часа}$

$\frac{143}{x-1}-\frac{143}{x+1}=2\text{НОЗ}:(x-1)(x+1)$

$143(x+1)-143(x-1)=2(x^2-1)$

$143x+143-143x+143=2x^2-2$

$286=2x^2-2$

$2x^2=288$

$x^2=144$

$x=\sqrt{144}=12$

$v_{\text{собственная}}=12\text{км/ч}$

Ответ: 12

Задание 10 (пример 2)

Текст задачи:

Смешав 45%-й и 97%-й растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-й раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 72%-й раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-го раствора использовали для получения смеси?

Решение:

Раствор	m раствора	m кислоты	%
I	$x?$	$0.45\mathrm{x}$	45
II	y	$0.97y$	97
III	$x+y+10$	$0.45x+0.97y$	62
IV	$x+y+10$	$0.45x+0.97y+10·0.5$	72

$\begin{array}{c}III\\ IV\end{array}\{\begin{array}{cc}0.45x+0.97y=0.62(x+y+10)& \text{(1)}\\ 0.45x+0.97y+5=0.72(x+y+10)& \text{(2)}\end{array}$

• Вычтем $\left(2\right)-\left(1\right)$, получим $0.1(x+y+10)=5$
• $x+y+10=50$
• $x+y=\mathrm{40}$
• $y=40-x$

Подставим в (1), получим:

• $45x+3880-97x=3100$
• $52x=780\text{,}x=15$

Значит, 15кг 45% раствора использовали в смеси.

Ответ: 15

Задание 10 (пример 3)

Текст задачи:

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 104 литра она заполняет на 5 минут дольше, чем вторая труба?

Решение:

Труба	Пропускная способность	Время	Работа
I	$x\text{?л}$/мин	$\frac{104}{x}$	104л
II	$x+5\text{л/мин}$	$\frac{104}{x+5}$	104л

• $t_I>t_{\mathrm{II}}\text{на 5 минут.}$
• $\frac{104}{x}-\frac{104}{x+5}=5$НОЗ:$\mathrm{x}(x+5)$
• $104(x+5)-104x=5x(x+5)$
• $104x+520-104x=5x^2+25x$
• $5x^2+25x-520=0|:5$
• $x^2+5x-104=0$
• $D=25+4·1·104=441$
• $x_1=\frac{-5+21}{2}=8\text{,}{x}_2<0$

Значит, 8л/мин пропускает первая труба.

Ответ: 8

---

Задание 11

Текст задачи:

На рисунке изображены графики функций видов $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c\text{и}g\left(x\right)=kx$, пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Дано:

• $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$
• $g\left(x\right)=kx$
• $f\left(x\right)\cap g\left(x\right)=A;B$

Найти:

$X_B$$$

Решение:

1. Пусть $C(2;-4)$ вершина параболы, тогда $f\left(x\right)={(x-2)}^2-4$
2. $D(1;3)\in g\left(x\right)\Rightarrow 3=k·1,k=3,g\left(x\right)=3x$
3. $f\left(x\right)=g\left(x\right)$
   ${(x-2)}^2-4=3x$
   $4+x^2-4x-4-3x=0$
   $x^2-7x=0,x(x-7)=0$
   $x_A=0,x_B=7$

Ответ: 7

---

Задание 12 (пример 1)

Текст задачи:

Найдите наименьшее значение функции $y=9x-9\ln (x+11)+7$на отрезке $[-10.5;0]$

Дано:

$y=9x-9\ln (x+11)+7$на $[-10.5;0]$

Найти:

$y_{\text{наименьшее}}$

Решение:

1. $y‘=(9x-9\ln (x+11)+7)‘$
   $y‘=9·1-9·\frac{1}{x+11}·(x+11)‘+\left(7\right)‘$
   $y‘=9-9·\frac{1}{x+11}·1+0$
   $y‘=9-\frac{9}{x+11}$
2. $y‘=0\text{при}9-\frac{9}{x+11}=0$
   $9(1-\frac{1}{x+11})=0\Rightarrow 1-\frac{1}{x+11}=0$
   $\frac{1}{x+11}=1,x+11=1,x=-11+1,x=-10$
3. 
   $x=-10\text{точка минимума}$
   $\Rightarrow y_{\text{наименьшее}}=y(-10)=$
   $=9·(-10)-9\ln (-10+11)+7=$
   $=-90-9\ln 1+7=-90-9·0+7=$
   $=-90-0+7=-83$

Ответ: −83

Задание 12 (пример 2)

Текст задачи:

Найдите точку максимума функции $y={(x+8)}^2·e^{3-x}$.

Дано:

• $y={(x+8)}^2·e^{3-x}$

Найти:

$x_{\text{max}}$

Решение:

$(u·v)‘=u‘v+uv‘$

1. $y‘=\left({(x+8)}^2\right)‘·e^{3-x}+{(x+8)}^2·\left(e^{3-x}\right)‘$
   $y‘=2(x+8)·e^{3-x}+{(x+8)}^2·e^{3-x}·(-1)$
   $y‘=2(x+8)·e^{3-x}-{(x+8)}^2·e^{3-x}$
   $y‘=(x+8)·e^{3-x}·(2-(x+8\left)\right)$
   $y‘=(x+8)·e^{3-x}·(2-x-8)$
   $y‘=(x+8)·e^{3-x}·(-x-6)$
2. $y‘=0\text{при}(x+8)·e^{3-x}·(-x-6)=0$
   $e^{3-x}>0\text{при любом}x\Rightarrow$$(x+8)(-x-6)=0$
   $\begin{array}{ccc}x+8=0& \text{или}& -x-6=0\\ x=-8& & x=-6\end{array}$
3. 
   $x_{\text{min}}=-8$
   $x_{\text{max}}=-6$

Ответ: -6

Задание 12 (пример 3)

Текст задачи:

Найдите точку минимума функции $y=-\frac{x}{x^2+256}$

Дано:

• $y=-\frac{x}{x^2+256}$

Найти:

$x_{\text{min}}$

Решение:

$\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u‘v-uv‘}{v^2}$

1. $y‘=\frac{x‘·(x^2+256)-x·(x^2+256)‘}{{(x^2+256)}^2}$
   $y‘=\frac{1·(x^2+256)-x·2x}{{(x^2+256)}^2}$
   $y‘=-\frac{x^2+256-2x^2}{{(x^2+256)}^2}$
   $y‘=\frac{-x^2+256}{{(x^2+256)}^2}=\frac{x^2-256}{{(x^2+256)}^2}$
2. $y‘=0\text{если}\begin{array}{c}{x}^2-256=0\\ x^2+256\ne 0\end{array}$
   $(x-16)(x+16)=0,x_1=-16,x_2=16$
   
   $x_{\text{min}}=16$

Ответ: 16