Демоверсия ЕГЭ математика 2024 профильный уровень с решением и ответами

Задание №1

Пример №1

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах. Решение:

∠BAC = 12 ∠BOC (вписанный угол опирается на дугу BC) ⇒ ∠BOC = 2 × 32° = 64° Ответ: 64

Пример №2

Площадь треугольника ABC равна 24; DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE. Решение:

S_ABC = 24 S_CDE — ? 1) DE = 12AB (средняя линия треугольника) 2) Δ CDE ∼ Δ ABC (треугольники подобны по двум углам) ⇒ S_CDES_ABC = k² = (12)² = 14 S_CDE24 = 14 S_CDE = 244 = 6 Ответ: 6

Пример №3

В ромбе ABCD угол DBA равен 13° . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах. Решение:

ABCD — ромб 1) ∠ DBA = 13° = ∠ CDB (н/л) 2) Δ DBC — равнобедренный треугольник с основанием BD ⇒ ∠ B = ∠ D = 13° 3) ∠ C = 180° — 2 × 13° = 180° — 26° = 154° Ответ: 154

Пример №4

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма. Решение:

h — ? S_ABCD = 24 × 18 S_ABCD = 27 × h 24 × 18 = 27 × h ⇒ h = 24 × 1827 h = 24 × 23 = 8 × 2 = 16 Ответ: 16

Задание №2

Пример №1

На координатной плоскости изображены векторы a^➔ и b^➔. Найдите скалярное произведение a^➔ × b^➔.

Решение:

1) a^➔{5-1; 8-2} a^➔{4; 6} 2) b^➔{11-5; 3-5} b^➔{6; -2} 3) a^➔ × b^➔ = 4 × 6 + 6 × (-2) = 24 — 12 = 12 Ответ: 12

Пример №2

Даны векторы a^➔(1; 2), b^➔(-3; 6) и c^➔(4; -2). Найдите длину вектора a^➔ — b^➔ + c^➔. Решение: a^➔{1; 2}, b^➔{-3; 6}, c^➔{4; -2} |a^➔ — b^➔ + c^➔| = ? 1) a^➔ — b^➔ {1-(-3); 2-6} a^➔ — b^➔{4; -4} 2) a^➔ — b^➔ + c^➔ {4+4; -4-2} a^➔ — b^➔ + c^➔ {8; -6} 3) |a^➔ — b^➔ + c^➔| = √8² + (-6)² = √100 = 10 Ответ: 10

Задание №3

Пример №1

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде? Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

Цилиндр	I	II
Высота	16	h?
Диаметр	d	2d
Объем	π(d2)² × 16	π(2d2)² × h

V_ц = πd²4h V₁ = V₂ πd²4 × 16 = πd²h h = 4 Ответ: 4

Пример №2

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Решение: S_{боковой поверхности призмы} = 24 24 = P_{основания} × h S_{боковой поверхности отсеченной} = ? = 12P_{основания} × h S_{боковой поверхности отсеченной} = 12 × 24 = 12 Ответ: 12

Пример №3

Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1: 2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Решение:

V_конуса = 54 V_{нижнего конуса} = ? 1) V_{верхнего конуса}V_{нижнего конуса} = (h3h)³ V_{верхнего конуса}54 = (13)³ = 127 2) V_{нижнего конуса} = 54 — 2 = 52 Ответ: 52

Задание №4

Пример №1

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах. Решение: n = 25 m = 2 p = mn p = 225 = 0.08 Ответ: 0.08

Пример №2

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет? Решение: P_{>1 года} = 0.8 P_{>2 лет} = 0.6 1 года < P < 2 лет P = 0.8 — 0.6 = 0.2 Ответ: 0.2

Задание №5

Пример №1

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»? Решение:

Броски
I		II		III
1	+	1	+	4	=	6
1	+	4	+	1	=	6
4	+	1	+	1	=	6
2	+	2	+	2	=	6
1	+	2	+	3	=	6
1	+	3	+	2	=	6
2	+	3	+	1	=	6
2	+	1	+	3	=	6
3	+	1	+	2	=	6
3	+	2	+	1	=	6

P хотя бы раз выпало 3 очка? P = 610 = 0.6 Ответ: 0.6

Пример №2

В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером». Решение: Всего взрослых — x человек, где 0.48x это мужчины ⇒ x — 0.48x = 0.52x это женщины. Пенсионеры — 0.126x, где 0.126x — 0.078x = 0.048x это мужчины и 0.15 × 0.52x = 0.078x это женщины. P = 0.0480.48 = 0.1 Ответ: 0.1

Задание №6

Пример №1

Найдите корень уравнения 3^{x − 5} = 81. Решение: 3^{x − 5} = 81 3^{x − 5} = 3⁴ x — 5 = 4 x = 4 + 5 x = 9 Ответ: 9

Пример №2

Найдите корень уравнения √3x + 49 = 10. Решение: √3x + 49 = 10 3x + 49 = 10² 3x + 49 = 100 3x = 100 — 49 3x = 51 x = 51 : 3 = 17 Ответ: 17

Пример №3

Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3. Решение: log₈(5x + 47) = 3 5x + 47 = 8³ = 512 5x = 512 — 47 = 465 x = 465 : 5 = 93 Ответ: 93

Пример №4

Решите уравнение √2x + 3 = x. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них. Решение: √2x + 3 = x, x ≥ 0 2x + 3 = x² x² — 2x — 3 = 0 x₁ = 3, x₂ = -1 посторонний корень По теореме Виета

3 × (-1) = -3 = с 3 + (-1) = 2 = -b Ответ: 3

Задание №7

Пример №1

Найдите sin 2α , если cosα = 0,6 и π < α < 2π. Решение: Дано: cosα = 0.6 π < α < 2π Найти: sin2α sin2α = 2sinα × cosα 1) sinα = -√1 — 0.6² = -√1 — 0.36 sinα = -√0.64 = -0.8 т.к. α ∈ III — IV четверти, где sinα < 0 2) sin2α = 2 × (-0.8) × 0.6 = -0.96 Ответ: -0.96

Пример №2

Найдите значение выражения 16log₇⁴√7 Решение: 16log₇⁴√7 = 16 × 14 × log₇7 = 4 × 1 = 4 Ответ: 4

Пример №3

Найдите значение выражения ₄¹⁵ × ₁₆⁹¹⁰ Решение: ₄¹⁵ × ₁₆⁹¹⁰ = ₄¹⁵ × (₄²)⁹¹⁰ = ₄¹⁵ × ₄⁹⁵ = ₄^{15 + 95} = ₄¹⁰⁵ = ₄² = ₁₆ Ответ: 16

Задание №8

Пример №1

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, … x₉.

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек. Решение: f'(x) < 0 ⇒ f(x) убывает в точках x₃, x₄, x₅, x₉ — 4 точки Ответ: 4

Пример №2

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение: A(2; 4) B(6; -3) x₁ = 2 x₂ = 6 y₁ = 4 y₂ = -3 f'(x) = ΔyΔx = y₂ — y₁x₂ — x₁ = -3 — 46 — 2 = —74 = -1.75 Ответ: -1.75

Задание №9

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением V = c × f — f₀f + f₀ где c =1500 м/с – скорость звука в воде, f0 – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с. Решение: V = c × f — f₀f + f₀ f = ? МГц f₀ = 749 МГц V = 2 м/с c = 1500 м/с 2 = 1500 × f — 749f + 749 1750 = f — 749f + 749 f + 749 = (f — 749) × 750 f + 749 = 750f — 749 × 750 750f — f = 749 + 749 × 750 749f = 749(1 + 750) f = 751 Ответ: 751

Задание №10

Пример №1

Весной катер идёт против течения реки в 123 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 12раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч). Решение: Пусть V_{течения весной} = x км/ч V_{собственная} = y км/ч

V	Весна	Лето
по течению	y + x	y + (x — 1)
против течения	y — x	y — (x — 1)

V_{против течения} < V_{по течению} в 123 весной. V_{против течения} < V_{по течению} в 112 летом.

123(y — x) = y + x 112(y — x + 1) = y + x — 1

23y = 83x 12y + 52 = 52x

2y = 8x y + 5 = 5x

y = 4x y = 5x — 5 4x = 5x — 5 x = 5 км/ч Ответ: 5

Пример №2

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси? Решение:

р/р	m раствора	m кислоты	концентрация
I	x ?	0.45x	45%
II	y	0.97y	97%
III	x + y + 10	0.45x + 0.97y + 0	62%
IV	x + y + 10	0.45x + 0.97y + 0.5 × 10	72%

1) Баланс по кислоте в III и IV

0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10) (1) 0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10) (2) Вычтем (2) — (1), получим 0.1(x + y + 10) = 5 x + y + 10 = 50 x + y = 40 (*) y = 40 — x 2) Подставим (*) в (1), получим 0.45x + 0.97(40 — x) = 0.62 × 50 0.45x + 38.8 — 0.97x = 31 0.52x = 7.8 x = 15 кг Ответ: 15

Пример №3

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона? Решение: 1) 70 — 40 = 30 (км/ч) — V_догона 2) 30 × 1560 = 152 = 7.5 (км) — S_{после обгона} Ответ: 7.5

Задание №11

На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax² + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите значение f(−12).

Решение: f(x) = ax² + bx + c f(-12) = ? f(x) = a(x — x₀)² + y₀ где (x₀, y₀) вершина параболы 1) По рисунку x₀ = -4, y₀ = -3 тогда f(x) = a(x + 4)² — 3 Пусть A(-3; -2) 2) f(x) = a(-3 + 4)² — 3 -2 = a — 3 a = 1 3) f(x) = (x + 4)² — 3 4) f(-12) = (-12 + 4)² — 3 f(-12) = (-8)² — 3 = 64 — 3 = 61 Ответ: 61

Задание №12

Пример №1

Найдите наименьшее значение функции y = 9x − 9ln(x + 11) + 7 на отрезке [-10.5; 0]. Решение: y = 9x — 9ln(x + 11) + 7 y_{наименьшее} = ? на [-10.5; 0] x + 11 > 0, x > -11 1) y’ = 9 — 9 × 1x + 11 = 9 × (1 — 1x + 11) y’ = 9 × x + 10x + 11 y’ = 0 при x + 10x + 11 = 0 x = -10 2)

3) y_{наименьшее} = y(x_min) = y(-10) = 9 × (-10) — 9 × ln1 + 7 = -90 + 7 = -83 Ответ: -83

Пример №2

Найдите точку максимума функции y = (x+8)² × e^3-x Решение: x_max — ? y = (x+8)² × e^{3 — x} 1) y’ = 2(x+8) × e^{3 — x} + (x+8)² × e^{3 — x} × (-1) y’ = 2(x+8) × e^{3 — x} — (x+8)² × e^{3 — x} y’ = (x+8) × e^{3 — x} × (2 — (x+8)) y’ = (x+8) × e^{3 — x} × (-x — 6) = 0 e^{3 — x} > 0 при ∀x ⇒ y’ = 0 при x + 8 = 0 или -x — 6 = 0 x₁ = -8 x = -6 2)

x_max = -6 Ответ: -6

Пример №3

Найдите точку минимума функции y = —xx² + 256 Решение: x_min — ? y’ = —1 × (x² + 256) — x × 2x(x² + 256)² y’ = —x² + 256 — 2x²(x² + 256)² y’ = —-x² + 256(x² + 256)² = x² — 256(x² + 256)² y’ = 0 при x² — 256 = 0 (x — 16)(x + 16) = 0 x₁ = 16 x₂ = -16

x_min = 16 Ответ: 16

Часть 2

Задание №13

Решите уравнение а) 2sin(x + π3) + cos2x = √3cosx + 1 б) [-3π —3π2] Решение: а) 2(sinx × π3) + cos2x = √3cosx + 1 2(sinx × 12 + cosx × √32) + cos2x = √3cosx + 1 sinx + (cos2x — 1) = 0 sinx + (-2sin²x) = 0 sinx(1 — 2sinx) = 0 sinx = 0 x = πn, n ∈ Z или 1 — 2sinx = 0 sinx = 12

x = π6 + 2πn, n ∈ Z x = 5π6 + 2πn, n ∈ Z б)

Задание 13 пример 2 демоверсия ЕГЭ математика профиль 2024

x₁ = -3π x₂ = -2π x₃ = -2π + π6 = —11π6 Ответ: a) πn; π6 + 2πn; 5π6 + 2πn, n ∈ Z б) -3π; -2π; —11π6

Задание №14

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5√2. а) Докажите, что BD = CD. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB. Решение:

Дано: DABC — пирамида DA ⊥ DB ⊥ DC AB = BC = AC = 5√2 а) Доказать: BD = CD б) Найти: S_{сечения MNB} M ∈ DA, N ∈ DC DMMA = DNNC = 23 а) Доказательство: Δ ABD = Δ ADC прямоугольные треугольники AD — общий катет AB = AC по условию ⇒ BD = CD что и требовалось доказать б) 1) Δ BDC — прямоугольный, равнобедренный с основание BC. Пусть BD = DC = x, тогда по теореме Пифагора x² + x² = (5√2)² 2x² = 25 × 2 x² = 25 x = 5 Значит, BD = DC = 5 2) т.к. BA = BC — наклонные то DA = DC = 5 — проекции. 3) Δ BND (∠D = 90°) BN = √BD² + DN² = √5² + 2² = √29 т.к. DN = 25DC = 25 × 5 = 2 BN = BM = √29 наклонные равных проекций 4) Δ MDN (∠D = 90°) MN = √MD² + DN² = √2² + 2² = √8 = 2√2 5) BH — высота Δ MBN — равнобедренный ⇒ BH — медиана ⇒ MH = 12MN MH = 12 × 2√2 = √2 6) S_{сечения} = S_MBN = 12MN × BH = 12 × 2√2 × BH = √2×BH 7) Δ MBH (∠H = 90°) BH = √BM² — MH² = √(√29)² — (√2)² BH = √29 — 2 = √27 = 3√3 8 ) S_MBH = √2 × 3√3 = 3√6 Ответ: 3√6

Задание №15

Решите неравенство log₁₁(8x² + 7) — log₁₁(x² + x + 1) ≥ log₁₁(xx + 5 + 7) Решение: 1) 8x² + 7 > 0 при ∀ x x² + x + 1 > 0 при ∀ x т.к. D = 1 — 4 = -3 < 0 и a = 1 > 0 2) log₁₁8x² + 7x² + x + 1 ≥ log₁₁(xx + 5 + 7)

xx + 5 + 7 > 0 (1) 8x² + 7x² + x + 1 ≥ xx + 5 + 7 (2) 3) Решим (1) неравенство системы x + 7x + 35x + 5 > 0 8x + 35x + 5 > 0 8x + 35 = 0 x = —358 = -438

Задание 15 пример 2 демоверсия ЕГЭ математика профиль 2024

x ∈ (-∞; -5) ∪ (-438; +∞) (*) 4) Решим (2) неравенство системы 8x² + 7x² + x + 1 ≥ 8x + 35x + 5 (8x² + 7)(x + 5) — (8x + 35)(x² + x + 1)(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0 8x³ + 40x² + 7x + 35 — 8x³ — 8x² — 8x — 35x² — 35x — 35(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0 -3x² — 36x(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0 | :(-3) x² + 12x(x² + x + 1)(x + 5) ≤ 0 | ×(x² + x + 1 > 0) x(x +12)x + 5 ≤ 0

x ∈ (-∞; -12] ∪ (-5; 0] (**) 5) Совместим (*) и (**)

Ответ: (-∞; -12] ∪ (-438; 0]

Задание №16

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: – каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число); – с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга; – в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей; – в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью. Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r. Решение: 1) (800000 — 200000) : 5 лет = 120000 выплаты с 2026 год по 2030 год 2) 200000 : 5 = 40000 выплаты с 2031 года по 2035 год 3) 1 + 0.01r = k

Год	Долг в июле	Долг в январе	Выплаты
2025	800000	800000 + 800000×0.01 = 800000k	800000k — 680000
2026	800000 — 120000 = 680000	680000k	680000k — 560000
2027	680000 — 120000 = 560000	560000k	560000k — 440000
2028	560000 — 120000 = 440000	440000k	440000k — 320000
2029	440000 — 120000 = 320000	320000k	320000k — 200000
2030	320000 — 120000 = 200000	200000k	200000k — 160000
2031	200000 — 40000 = 160000	160000k	160000k — 120000
2032	160000 — 40000 = 120000	120000k	120000k — 80000
2033	120000 — 40000 = 80000	80000k	80000k — 40000
2034	80000 — 40000 = 40000	40000k	40000k — 0
2035	40000 — 40000 = 0	0k

Сумма всех платежей 1480 тысяч рублей 3400000k — 2600000 = 1480000 3400000k = 4080000 k = 1.2 1 + 0.01r = 1.2 0.01r = 0.2 r = 20 Ответ: 20%

Задания взяты из демонстрационного варианта для профильного уровня ЕГЭ по математике 2024 с сайта ФИПИ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2

Файлы для скачивания: