Решение демоверсии ЕГЭ 2024 по математике профильный уровень

Задание №1

Пример №1

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Угол BAC равен 32°. Найдите угол BOC. Ответ дайте в градусах.
Решение:

∠BAC = 12 ∠BOC (вписанный угол опирается на дугу BC) ⇒ ∠BOC = 2 × 32° = 64°
Ответ: 64

Пример №2

Площадь треугольника ABC равна 24; DE – средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь треугольника CDE.
Решение:

S_ABC = 24
S_CDE — ?
1) DE  = 12AB (средняя линия треугольника)
2) Δ CDE ∼ Δ ABC (треугольники подобны по двум углам) ⇒ S_CDES_ABC = k² = (12)² = 14
S_CDE24 = 14
S_CDE = 244 = 6
Ответ: 6

Пример №3

В ромбе ABCD угол DBA равен 13° . Найдите угол BCD. Ответ дайте в градусах.
Решение:

ABCD — ромб
1) ∠ DBA = 13° = ∠ CDB (н/л)
2) Δ DBC — равнобедренный треугольник с основанием BD ⇒ ∠ B = ∠ D = 13°
3) ∠ C = 180° — 2 × 13° = 180° — 26° = 154°
Ответ: 154

Пример №4

Стороны параллелограмма равны 24 и 27. Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна 18. Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.
Решение:

h — ?
S_ABCD = 24 × 18
S_ABCD = 27 × h
24 × 18 = 27 × h ⇒ h = 24 × 1827
h = 24 × 23 = 8 × 2 = 16
Ответ: 16

Задание №2

Пример №1

На координатной плоскости изображены векторы a^➔ и b^➔. Найдите скалярное произведение a^➔ × b^➔.

Решение:

1) a^➔{5-1; 8-2}
a^➔{4; 6}
2) b^➔{11-5; 3-5}
b^➔{6; -2}
3) a^➔ × b^➔ = 4 × 6 + 6 × (-2) = 24 — 12 = 12
Ответ: 12

Пример №2

Даны векторы a^➔(1; 2), b^➔(-3; 6) и c^➔(4; -2). Найдите длину вектора a^➔ — b^➔ + c^➔.
Решение:
a^➔{1; 2}, b^➔{-3; 6}, c^➔{4; -2}
|a^➔ — b^➔ + c^➔| = ?
1) a^➔ — b^➔ {1-(-3); 2-6}
a^➔ — b^➔{4; -4}
2) a^➔ — b^➔ + c^➔ {4+4; -4-2}
a^➔ — b^➔ + c^➔ {8; -6}
3) |a^➔ — b^➔ + c^➔| = √8² + (-6)² = √100 = 10
Ответ: 10

Задание №3

Пример №1

В первом цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. Эту жидкость перелили во второй цилиндрический сосуд, диаметр основания которого в 2 раза больше диаметра основания первого. На какой высоте будет находиться уровень жидкости во втором сосуде?
Ответ дайте в сантиметрах.

Решение:

V_ц = πd²4h
V₁ = V₂
πd²4 × 16 = πd²h
h = 4
Ответ: 4

Пример №2

Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 24. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь
боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

Решение:
S_{боковой поверхности призмы} = 24
24 = P_{основания} × h
S_{боковой поверхности отсеченной} = ? = 12P_{основания} × h
S_{боковой поверхности отсеченной} = 12 × 24 = 12
Ответ: 12

Пример №3

Через точку, лежащую на высоте прямого кругового конуса и делящую её в отношении 1: 2 , считая от вершины конуса, проведена плоскость, параллельная его основанию и делящая конус на две части. Каков объём той части конуса, которая примыкает к его основанию, если объём всего конуса равен 54?

Решение:

V_конуса = 54
V_{нижнего конуса} = ?
1) V_{верхнего конуса}V_{нижнего конуса} = (h3h)³
V_{верхнего конуса}54 = (13)³ = 127
2) V_{нижнего конуса} = 54 — 2 = 52
Ответ: 52

Задание №4

Пример №1

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
Решение:
n = 25
m = 2
p = mn
p = 225 = 0.08
Ответ: 0.08

Пример №2

Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?
Решение:
P_{>1 года} = 0.8
P_{>2 лет} = 0.6
1 года < P < 2 лет
P = 0.8 — 0.6 = 0.2
Ответ: 0.2

Задание №5

Пример №1

Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
Решение:

P хотя бы раз выпало 3 очка?
P = 610 = 0.6
Ответ: 0.6

Пример №2

В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Решение:
Всего взрослых — x человек, где 0.48x это мужчины ⇒ x — 0.48x = 0.52x это женщины.
Пенсионеры — 0.126x, где 0.126x — 0.078x = 0.048x это мужчины и 0.15 × 0.52x = 0.078x это женщины.
P = 0.0480.48 = 0.1
Ответ: 0.1

Задание №6

Пример №1

Найдите корень уравнения 3^{x − 5} = 81.
Решение:
3^{x − 5} = 81
3^{x − 5} = 3⁴
x — 5 = 4
x = 4 + 5
x = 9
Ответ: 9

Пример №2

Найдите корень уравнения √3x + 49 = 10.
Решение:
√3x + 49 = 10
3x + 49 = 10²
3x + 49 = 100
3x = 100 — 49
3x = 51
x = 51 : 3 = 17
Ответ: 17

Пример №3

Найдите корень уравнения log₈(5x + 47) = 3.
Решение:
log₈(5x + 47) = 3
5x + 47 = 8³ = 512
5x = 512 — 47 = 465
x = 465 : 5 = 93
Ответ: 93

Пример №4

Решите уравнение √2x + 3 = x. Если корней окажется несколько, то в ответе запишите наименьший из них.
Решение:
√2x + 3 = x, x ≥ 0
2x + 3 = x²
x² — 2x — 3 = 0
x₁ = 3, x₂ = -1 посторонний корень
По теореме Виета

3 × (-1) = -3 = с
3 + (-1) = 2 = -b
Ответ: 3

Задание №7

Пример №1

Найдите sin 2α , если cosα = 0,6 и π < α < 2π.
Решение:
Дано: cosα = 0.6
π < α < 2π
Найти: sin2α

sin2α = 2sinα × cosα
1) sinα = -√1 — 0.6² = -√1 — 0.36
sinα = -√0.64 = -0.8 т.к. α ∈ III — IV четверти, где sinα < 0
2) sin2α = 2 × (-0.8) × 0.6 = -0.96
Ответ: -0.96

Пример №2

Найдите значение выражения 16log₇⁴√7
Решение:
16log₇⁴√7 = 16 × 14 × log₇7 = 4 × 1 = 4
Ответ: 4

Пример №3

Найдите значение выражения ₄¹⁵ × ₁₆⁹¹⁰
Решение:
₄¹⁵ × ₁₆⁹¹⁰ = ₄¹⁵ × (₄²)⁹¹⁰ = ₄¹⁵ × ₄⁹⁵ = ₄^{15 + 95} = ₄¹⁰⁵ = ₄² = ₁₆
Ответ: 16

Задание №8

Пример №1

На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f(x). На оси абсцисс отмечены девять точек: x₁, x₂, … x₉.

Найдите все отмеченные точки, в которых производная функции f(x) отрицательна. В ответе укажите количество этих точек.
Решение:
f'(x) < 0 ⇒ f(x) убывает в точках x₃, x₄, x₅, x₉ — 4 точки
Ответ: 4

Пример №2

На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:
A(2; 4)
B(6; -3)
x₁ = 2      x₂ = 6
y₁ = 4      y₂ = -3
f'(x) = ΔyΔx = y₂ — y₁x₂ — x₁ = -3 — 46 — 2 = —74 = -1.75
Ответ: -1.75

Задание №9

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковой сигнал частотой 749 МГц. Приёмник регистрирует частоту сигнала, отражённого от дна океана. Скорость погружения батискафа (в м/с) и частоты связаны соотношением
V = c × f — f₀f + f₀
где c =1500 м/с – скорость звука в воде, f0 – частота испускаемого сигнала (в МГц), f – частота отражённого сигнала (в МГц). Найдите частоту отражённого сигнала (в МГц), если батискаф погружается со скоростью 2 м/с.
Решение:
V = c × f — f₀f + f₀
f = ? МГц
f₀ = 749 МГц
V = 2 м/с        c = 1500 м/с
2 = 1500 × f — 749f + 749
1750 = f — 749f + 749
f + 749 = (f — 749) × 750
f + 749 = 750f — 749 × 750
750f — f = 749 + 749 × 750
749f = 749(1 + 750)
f = 751
Ответ: 751

Задание №10

Пример №1

Весной катер идёт против течения реки в 123 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в 1 12раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость
течения весной (в км/ч).
Решение:
Пусть V_{течения весной} = x км/ч
V_{собственная} = y км/ч

V_{против течения} < V_{по течению} в 123 весной.
V_{против течения} < V_{по течению} в 112 летом.
123(y — x) = y + x
112(y — x + 1) = y + x — 1

23y = 83x
12y + 52 = 52x

2y = 8x
y + 5 = 5x

y = 4x
y = 5x — 5

4x = 5x — 5
x = 5 км/ч
Ответ: 5

Пример №2

Смешав 45%-ный и 97%-ный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62%-ный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-ного раствора той же кислоты, то получили бы 72%-ный раствор кислоты. Сколько килограммов 45%-ного раствора использовали для получения смеси?
Решение:

1) Баланс по кислоте в III и IV

0.45x + 0.97y = 0.62(x + y + 10)        (1)
0.45x + 0.97y + 5 = 0.72(x + y + 10)        (2)
Вычтем (2) — (1), получим 0.1(x + y + 10) = 5
x + y + 10 = 50
x + y = 40        (*)
y = 40 — x

2) Подставим (*) в (1), получим
0.45x + 0.97(40 — x) = 0.62 × 50
0.45x + 38.8 — 0.97x = 31
0.52x = 7.8
x = 15 кг
Ответ: 15

Пример №3

Автомобиль, движущийся с постоянной скоростью 70 км/ч по прямому шоссе, обгоняет другой автомобиль, движущийся в ту же сторону с постоянной скоростью 40 км/ч. Каким будет расстояние (в километрах) между этими автомобилями через 15 минут после обгона?
Решение:
1) 70 — 40 = 30 (км/ч) — V_догона
2) 30 × 1560 = 152 = 7.5 (км) — S_{после обгона}
Ответ: 7.5

Задание №11

На рисунке изображён график функции вида f(x) = ax² + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите значение f(−12).

Решение:
f(x) = ax² + bx + c        f(-12) = ?
f(x) = a(x — x₀)² + y₀        где (x₀, y₀) вершина параболы
1) По рисунку x₀ = -4,        y₀ = -3 тогда f(x) = a(x + 4)² — 3
Пусть A(-3; -2)
2) f(x) = a(-3 + 4)² — 3
-2 = a — 3        a = 1
3) f(x) = (x + 4)² — 3
4) f(-12) = (-12 + 4)² — 3
f(-12) = (-8)² — 3 = 64 — 3 = 61
Ответ: 61

Задание №12

Пример №1

Найдите наименьшее значение функции y = 9x − 9ln(x + 11) + 7 на отрезке [-10.5; 0].
Решение:
y = 9x — 9ln(x + 11) + 7
y_{наименьшее} = ? на [-10.5; 0]
x + 11 > 0,        x > -11
1) y’ = 9 — 9 × 1x + 11 = 9 × (1 — 1x + 11)
y’ = 9 × x + 10x + 11
y’ = 0 при x + 10x + 11 = 0
x = -10
2)
3) y_{наименьшее} = y(x_min) = y(-10) = 9 × (-10) — 9 × ln1 + 7 = -90 + 7 = -83
Ответ: -83

Пример №2

Найдите точку максимума функции y = (x+8)² × e^3-x
Решение:
x_max — ?
y = (x+8)² × e^{3 — x}
1) y’ = 2(x+8) × e^{3 — x} + (x+8)² × e^{3 — x} × (-1)
y’ = 2(x+8) × e^{3 — x} — (x+8)² × e^{3 — x}
y’ = (x+8) × e^{3 — x} × (2 — (x+8))
y’ = (x+8) × e^{3 — x} × (-x — 6) = 0
e^{3 — x} > 0 при ∀x ⇒ y’ = 0 при x + 8 = 0 или -x — 6 = 0
x₁ = -8        x = -6

2) 
x_max = -6
Ответ: -6

Пример №3

Найдите точку минимума функции y = —xx² + 256
Решение:
x_min — ?
y’ = —1 × (x² + 256) — x × 2x(x² + 256)²
y’ = —x² + 256 — 2x²(x² + 256)²

y’ = —-x² + 256(x² + 256)² = x² — 256(x² + 256)²
y’ = 0 при x² — 256 = 0
(x — 16)(x + 16) = 0
x₁ = 16        x₂ = -16

x_min = 16
Ответ: 16

Задание №13

Решите уравнение
а) 2sin(x + π3) + cos2x = √3cosx + 1
б) [-3π —3π2]
Решение:
а) 2(sinx × π3) + cos2x = √3cosx + 1
2(sinx × 12 + cosx × √32) + cos2x = √3cosx + 1
sinx + (cos2x — 1) = 0
sinx + (-2sin²x) = 0
sinx(1 — 2sinx) = 0
sinx = 0
x = πn, n ∈ Z
или 1 — 2sinx = 0
sinx = 12
x = π6 + 2πn, n ∈ Z
x = 5π6 + 2πn, n ∈ Z

б) 
x₁ = -3π
x₂ = -2π
x₃ = -2π + π6 = —11π6
Ответ: a) πn; π6 + 2πn; 5π6 + 2πn, n ∈ Z
б) -3π; -2π; —11π6

Задание №14

В пирамиде ABCD рёбра DA, DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5√2.
а) Докажите, что BD = CD.
б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3. Найдите площадь сечения MNB.
Решение:

Дано: DABC — пирамида
DA ⊥ DB ⊥ DC
AB = BC = AC = 5√2
а) Доказать: BD = CD
б) Найти: S_{сечения MNB}
M ∈ DA, N ∈ DC
DMMA = DNNC = 23
а) Доказательство:
Δ ABD = Δ ADC прямоугольные треугольники
AD — общий катет
AB = AC по условию ⇒ BD = CD что и требовалось доказать

б) 1) Δ BDC — прямоугольный, равнобедренный с основание BC.
Пусть BD = DC = x, тогда по теореме Пифагора x² + x² = (5√2)²
2x² = 25 × 2
x² = 25
x = 5
Значит, BD = DC = 5

2) т.к. BA = BC — наклонные то DA = DC = 5 — проекции.

3) Δ BND (∠D = 90°)
BN = √BD² + DN² = √5² + 2² = √29
т.к. DN = 25DC = 25 × 5 = 2
BN = BM = √29 наклонные равных проекций

4) Δ MDN (∠D = 90°)
MN = √MD² + DN² = √2² + 2² = √8 = 2√2

5) BH — высота Δ MBN — равнобедренный ⇒ BH — медиана ⇒ MH = 12MN
MH = 12 × 2√2 = √2

6) S_{сечения} = S_MBN = 12MN × BH = 12 × 2√2 × BH = √2×BH

7) Δ MBH (∠H = 90°)
BH = √BM² — MH² = √(√29)² — (√2)²
BH = √29 — 2 = √27 = 3√3

8 ) S_MBH = √2 × 3√3 = 3√6
Ответ: 3√6

Задание №15

Решите неравенство log₁₁(8x² + 7) — log₁₁(x² + x + 1) ≥ log₁₁(xx + 5 + 7)
Решение:
1) 8x² + 7 > 0 при ∀ x
x² + x + 1 > 0 при ∀ x
т.к. D = 1 — 4 = -3 < 0 и a = 1 > 0
2) log₁₁8x² + 7x² + x + 1 ≥ log₁₁(xx + 5 + 7)
xx + 5 + 7 > 0        (1)
8x² + 7x² + x + 1 ≥ xx + 5 + 7        (2)

3) Решим (1) неравенство системы
x + 7x + 35x + 5 > 0
8x + 35x + 5 > 0
8x + 35 = 0
x = —358 = -438

x ∈ (-∞; -5) ∪ (-438; +∞)        (*)

4) Решим (2) неравенство системы
8x² + 7x² + x + 1 ≥ 8x + 35x + 5
(8x² + 7)(x + 5) — (8x + 35)(x² + x + 1)(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0
8x³ + 40x² + 7x + 35 — 8x³ — 8x² — 8x — 35x² — 35x — 35(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0
-3x² — 36x(x² + x + 1)(x + 5) ≥ 0 | :(-3)
x² + 12x(x² + x + 1)(x + 5) ≤ 0 | ×(x² + x + 1 > 0)
x(x +12)x + 5 ≤ 0

x ∈ (-∞; -12] ∪ (-5; 0]        (**)

5) Совместим (*) и (**)

Ответ: (-∞; -12] ∪ (-438; 0]

Задание №16

В июле 2025 года планируется взять кредит на десять лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг будет возрастать на r% по сравнению с концом предыдущего года (r – целое число);
– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– в июле 2030 года долг должен составить 200 тыс. рублей;
– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
– к июлю 2035 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите r.
Решение:
1) (800000 — 200000) : 5 лет = 120000 выплаты с 2026 год по 2030 год

2) 200000 : 5 = 40000 выплаты с 2031 года по 2035 год

3) 1 + 0.01r = k

Сумма всех платежей 1480 тысяч рублей
3400000k — 2600000 = 1480000
3400000k = 4080000
k = 1.2

1 + 0.01r = 1.2
0.01r = 0.2
r = 20
Ответ: 20%

Задания взяты из демонстрационного варианта для профильного уровня ЕГЭ по математике 2024 с сайта ФИПИ https://fipi.ru/ege/demoversii-specifikacii-kodifikatory#!/tab/151883967-2

Файлы для скачивания:

• Демонстрационный вариант для профильного уровня Скачать
• Спецификация для профильного уровня Скачать
• Кодификатор Скачать