Калькулятор площади треугольника

Калькулятор позволяет рассчитать площадь треугольника даже если длины сторон даны в разных единицах, умеет конвертировать распространненные единицы измерения длины, площади и меры угла.

---

Треугольник - это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, соединенными тремя точками, не лежащими на одной прямой. Данные точки называют вершинами треугольника, а три отрезка, соединяющие вершины, называются сторонами треугольника.

Площадь - это числовая мера двумерной области, выражающая сколько плоскостного пространства, занимает замкнутая геометрическая фигура. Она измеряется в квадратных единицах (мм², см², м², км² и т.д.) и зависит от формы и размеров фигуры.

В зависимости от вида треугольника (разносторонний, равнобедренный, равносторонний, прямоугольный), существуют различные методы вычисления площади, рассмотрим их.

Формулы расчета площади любого (разностороннего) треугольника

Через сторону и высоту

формула для любого Δ

Если известна сторона и высота проведенная к данной стороне, то площадь треугольника равна половине произведения длины стороны на высоту:

S_Δ = 12a×h_a

где a - сторона треугольника, h_a - высота проведенная к стороне a.

Через две стороны и угол между ними

формула для любого Δ

Если известны две стороны и угол между ними, то площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними:

S_Δ = 12a×b×sin(α)

где a, b - стороны треугольника, α - угол между сторонами a и b.

Через три стороны (по формуле Герона)

формула для любого Δ

Если известны три стороны, то площадь треугольника равна квадратному корню из произведения полупериметра на разности полупериметра с каждой из сторон:

S_Δ = √p(p-a)(p-b)(p-c)

где a, b, c - стороны треугольника, p (полупериметр) = a+b+c2.

Через радиус вписанной окружности и полупериметр

формула для любого Δ

Если известны радиус вписанной окружности и полупериметр, то площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус:

S_Δ = p×r

где r - радиус вписанной окружности в треугольник, p (полупериметр) = a+b+c2.

Через радиус описанной окружности и стороны

формула для любого Δ

Если известны радиус описанной окружности и стороны, то площадь треугольника равна отношению произведения трех сторон к четырем радиусам описанной окружности:

S_Δ = a×b×c4R

где R - радиус описанной окружности, a, b, c - стороны треугольника.

Через сторону и два прилежащих к ней угла

формула для любого Δ

Если известны сторона и два прилежащих к ней угла, то площадь треугольника равна отношению произведения квадрата стороны на синусы двух прилежащих углов к двум синусам суммы прилежащих углов:

S_Δ = a²×sin(β)×sin(γ)2sin(β+γ)

где a - сторона треугольника, β и γ - величины прилежащих к стороне углов.

Через сторону и три угла

формула для любого Δ

Если известны сторона и величины трёх углов, то площадь треугольника равна отношению произведения квадрата стороны на синусы двух прилежащих углов к двум синусам противолежащего угла:

S_Δ = a²×sin(β)×sin(γ)2sin(α)

где a - сторона треугольника, α, β, γ - величины углов.

Формулы площади равнобедренного треугольника

Через боковые стороны и угол между ними

формула для равнобедренного Δ

Если известны боковые стороны и угол между ними, то площадь треугольника равна половине произведения квадрата боковой стороны на синус угла между боковыми сторонами:

S_Δ = 12a²sin(β)

где a - сторона треугольника, β - величина угла между боковыми сторонами.

Через длину основания и прилежащий угол

формула для равнобедренного Δ

Если известны основание и прилежащий угол, то площадь треугольника можно найти как четверть произведения квадрата длины основания на тангенс угла при основании равнобедренного треугольника:

S_Δ = 14b²tg(α)

где b - основание равнобедренного треугольника, α - величина угла прилежащего к основанию.

Через длину основания и угол между боковыми сторонами

формула для равнобедренного Δ

Если известны основание и угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника, то площадь можно рассчитать как половина произведения квадрата длины основания на котангенс половины угла между боковыми сторонами:

S_Δ = 12b²ctg(β2)

где b - основание равнобедренного треугольника, β - величина угла между боковыми сторонами.

Через боковую сторону и высоту проведенную к основанию

формула для равнобедренного Δ

Если известны боковая сторона и высота проведенная к основанию, то площадь равнобедренного треугольника равна произведению высоты на квадратный корень из разности квадратов боковой стороны и высоты:

S_Δ = h√a² - h²

где a - боковая сторона равнобедренного треугольника, h - высота проведенная к основанию.

Через длину основания и высоту проведенную к основанию

формула для равнобедренного Δ

Если известны длина основания и высота проведенная к основанию, то площадь равнобедренного треугольника равна половине произведения основания на высоту:

S_Δ = 12b×h

где b - основание равнобедренного треугольника, h - высота проведенная к основанию.

Через сторону

формула для равностороннего Δ

Если известна длина стороны, то площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата стороны на квадратный корень из трёх:

S_Δ = a²√34

где a - длина стороны в равностороннем треугольнике.

Через высоту треугольника

формула для равностороннего Δ

Если известна высота равностороннего треугольника, то площадь равна отношению квадрата высоты к квадратному корню из трёх:

S_Δ = h²√3

где h - длина высоты в равностороннем треугольнике.

Через радиус вписанной окружности

формула для равностороннего Δ

Если известен радиус вписанной окружности, то площадь равностороннего треугольника равна произведению квадрата радиуса на 3√3:

S_Δ = 3√3r²

где r - радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник.

Через радиус описанной окружности

формула для равностороннего Δ

Если известен радиус описанной окружности, то площадь равностороннего треугольника равна четверти произведения квадрата радиуса на 3√3:

S_Δ = 3√3R²4

где R - радиус описанной окружности у равностороннего треугольника.

Через катеты

формула для прямоугольного Δ

Если известны катеты прямоугольного треугольника, то площадь равна половине произведения катетов:

S_Δ = 12a×b

где a, b - катеты прямоугольного треугольника.

Через катет и гипотенузу

формула для прямоугольного Δ

Если известны катет и гипотенуза прямоугольного треугольника, то площадь равна половине произведения катета на квадратный корень из разности квадратов гипотенузы и катета:

S_Δ = 12a√c² - a²

где a - катет, c - гипотенуза.

Через гипотенузу и острый угол

формула для прямоугольного Δ

Если известны гипотенуза и острый угол, то площадь прямоугольного треугольника равна четверти произведения квадрата гипотенузы на синус удвоенного острого угла:

S_Δ = 14с²×sin(2α)

где c - гипотенуза, α - величина острого угла.

Через катет и прилежащий острый угол

формула для прямоугольного Δ

Если известны катет и прилежащий острый угол, то площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения квадрата катета на тангенс прилежащего острого угла:

S_Δ = 12a²×tg(α)

где a - катет, α - величина прилежащего к катету острого угла.

Через гипотенузу и радиус вписанной окружности

формула для прямоугольного Δ

Если известны гипотенуза и радиус вписанной окружности, то площадь прямоугольного треугольника равна произведению радиуса на сумму гипотенузы и радиуса вписанной окружности:

S_Δ = r×(r+c)

где c - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Через длины отрезков на которые делит гипотенузу точка касания вписанной окружности

формула для прямоугольного Δ

Если известны длины отрезков на которые делит гипотенузу точка касания вписанной окружности, то площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин этих отрезков:

S_Δ = с₁×с₂

где с₁ и с₂ - длины отрезков гипотенузы.

Через три стороны (формула Герона)

формула для прямоугольного Δ

Если известны длины трёх сторон, то площадь прямоугольного треугольника равна произведению разностей полупериметра и катетов:

S_Δ = (p-a)×(p-b)

где a, b - катеты, c - гипотенуза, p (полупериметр) = a+b+c2.