Вариант 1, решение и ответы (ОГЭ 2024 математика Ященко 36 вариантов ФИПИ)

Часть 1

Задание 1

S_A0 = 1м²
A0 = 2 × A1 (разрез || меньшей стороне)
A1 = 2 × A2
A2 = 2 × A3
и т.д.
Решение:
По таблице от самых маленьких размеров до самых больших:
A6 — 105 × 148 ⇒ 3
A5 — 148 × 210 ⇒ 4
A4 — 210 × 297 ⇒ 1
A3 — 297 × 420 ⇒ 2
Ответ: 3412

Задание 2

Решение:
По рисунку A0 = 2A1 = 2 × 2 × A2 = 2 × 2 × 2A3 = 2 × 2 × 2 × 2A4 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2A5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2A6 = 2⁶ = 64 листа
Ответ: 64

Задание 3

Решение:
1) По рисунку меньшая сторона A2 = большей стороне A3
2) По таблице A3 под номером 2
420 мм — большая сторона
Ответ: 420

Задание 4

S_A5 — ?см²
Решение:
Размеры A5 — 148мм × 210мм
S = 31080мм² = 310.8см²
Ответ: 310.8

Задание 5

Решение:
h_{1 пункта} = 172 дюйма = 0.3528мм
По таблице длина A3 = 420мм, длина A4 = 297мм
1) 420297 = 1.4141… = 1.(41) во столько раз больше на A3 чем на A4
2) 1.41 × 10 пунктов = 14.1 пункт ≈ 14 пунктов
Ответ: 14

Задание 6

Решение:
3.52 — 49 = 3.5199 — 49 = 3.5159 = 312 : 159 = 72 : 149 = 72 × 914 = 7 × 92 × 14 = 92 × 2 = 94 = 214 = 2.25
Ответ: 2.25

Задание 7

Решение:
По рисунку 7 < a < 8
a ≈ 7.7
1) 8 — a > 0 ⇒ a < 8 верно ⇒ 1
2) 8 — a < 0 ⇒ a > 8 неверно
3) a — 7 < 0 ⇒ a < 7 неверно
4) a — 9 > 0 ⇒ a > 9 неверно
Ответ: 1

Задание 8

Решение:
√a⁶ × (-a)² = √a⁶ × a² = √a⁶ ⁺ ² = √a⁸ = √(a⁴)² = |a⁴| = |3⁴| = |81| = 81
Ответ: 81

Задание 9

Решение:
5x² + 9x + 4 = 0
a = 5,        b = 9,        с = 4
D = b² — 4ac = 9² — 4 × 5 × 4 = 81 — 80 = 1
x_1,2 = -b ± √D2a = -9 ± 110
x₁ = -9 — 110 = —1010 = -1
x₂ = -9 + 110 = -810 = -0.8 больший корень
Ответ: -0.8

Задание 10

Решение:
P_{желтых машин} = ?
Найдем вероятность подачи желтой машины как отношение количества желтых машин к общему числу машин ⇒ 320 = 0.15
Ответ: 0.15

Задание 11

Решение:
y = ax² + bx + c — парабола
Если a > 0, то ветви ↑
a < 0, то ветви ↓

Если c > 0, то при x = 0, y > 0
c < 0, то при x = 0, y < 0
А) a > 0, с > 0 ➔ 3
Б) a > 0, c < 0 ➔ 2
В) a < 0, c > 0 ➔ 1
Ответ: 321

Задание 12

Решение:
P = I²R
R — ?
P = 245, I = 7
245 = 7² × R ⇒ R = 24549 = 5
Ответ: 5

Задание 13

Решение:
6x — 3(4x + 1) > 6
6x — 12x — 3 > 6
6x — 12x > 6 + 3
-6x > 9 (разделим обе части неравенства на -6)
x < —96
x < —32
x < -1.5

(-∞; -1.5) ➔ 2
Ответ: 2

Задание 14

Решение:
Масса изотопа уменьшается в 2 раза каждые 9 минут.

63 мин = 7 × 9 мин

Ответ: 2.5

Задание 15

Решение:

1) Δ ABC — равносторонний
BD — биссектриса ⇒ BD — высота h
2) Используя формулу h = a√32, где a — сторона треугольника.
Найдем биссектрису BD
BD = 14√3 × √32 = 14 × (√3)²2 = 7 × 3 = 21
Ответ: 21

Задание 16

Решение:

ABCD описан около окружности ⇒ AB + CD = BC + AD
11 + 12 = 13 + AD
23 = 13 + AD
AD = 23 — 13 = 10
Ответ: 10

Задание 17

Решение:

1) ∠ A + ∠ D = 94°
∠ A = ∠ D = 94° : 2 = 47 (по свойству равнобедренной трапеции)
2) ∠ B = 180° — 47° = 133° (т.к. ∠ A и ∠ B — односторонние при AD || BC и секущей AB)
Ответ: 133

Задание 18

Решение:

ABCD — параллелограмм
S_ABCD = AB × CH, где AB — сторона равная 5 клеткам
CH — высота равная 4 клеткам
S_ABCD = 5 × 4 = 20
Ответ: 20

Задание 19

Решение:
1)
AC ≠ BD диагонали ⇒ утверждение неверно.

2)
∠ A = ∠ A₁ и ∠ C = ∠ C₁ ⇒ Δ ABC подобен Δ A₁B₁C₁
Утверждение верно.

3)
tg A = BCAC = 43 = 113 > 1 ⇒ утверждение неверно.
Ответ: 2

Часть 2

Задание 20

Решение:
x³ + 4x² = 9x + 36
x³ + 4x² — 9x — 36 = 0
x²(x + 4) — 9(x + 4) = 0
(x + 4)(x² — 9) = 0
(x + 4)(x² — 3²) = 0
(x + 4)(x — 3)(x + 3) = 0
x + 4 = 0
x = -4
или
x — 3 = 0
x = 3
или
x + 3 = 0
x = -3
Ответ: -3; 3; -4

Задание 21

Решение:

t₁ < t₂ на 2 часа
t₂ — t₁ = 2
420x — 24 — 420x = 2        умножим обе части уравнения на x(x — 24)
420x — 420x + 420 × 24 = 2x² — 48x
2x² — 48x — 420 × 24 = 0        разделим обе части уравнения на 2
x² — 24x — 420 × 12 = 0
D4 = (b2)² — ac = (- 242)² — 1 × (-420 × 12)
D4 = 12² + 420 × 12 = 12 × (12 + 420)
D4 = 12 × 432 = 5184 = 72²
x_1,2 = — b2 ± √D4a = -(-12) ± 721
x_1,2 = 12 ± 72
x₁ = 12 + 72 = 84
x₂ = 12 — 72 = -60 < 0
Ответ: 84 км/ч

Задание 22

Решение:
y = (0.25x² + x) × |x|x + 4, x ≠ -4
1) Если x ≥ 0, то y = (14x² + x)xx + 4
y = x²(14x + 1)x + 4 = 0.25x²(x + 4)x + 4
y = 14x² парабола, ветви ↑

2) Если x < 0, то y = (14x² + x) × (-x)x + 4
y = -0.25x² × (x + 4)x + 4 = — 14x², ветви ↓

3) Построим график y = f(x)
y= 14x²,        x ≥ 0
y = — 14x²,        x < 0, x ≠ -4

 
4) Прямая y = m не имеет с y = f(x) ни одной общей точки при m = -4

Ответ: -4

Задание 23

R_{окружности описанной около ΔABC} = 14
Решение:

1) ∠ A = 180° — 85° — 65° = 30° (по теореме о сумму углов треугольника)
2) BCsinA = 2R (следствие из теоремы синусов)
BCsin30° = 2 × 14
BC12 = 2 × 14 ⇒ BC = 2 × 14 × 12
BC = 14
Ответ: 14

Задание 24

Решение:

1) Δ ABD и Δ ACD имеют равные высоты BH и CK ⇒ S_ABD = S_ACD
2) S_APD = S_ABD — S_ABP и S_APD = S_AСD — S_PСD ⇒ S_ABD — S_ABP = S_ACD — S_PCD
3) S_ABP = S_PCD что и требовалось доказать.
Ответ: доказано S_ABP = S_PCD

Задание 25

Решение:

1) BE ∩ AD = P
Рассмотрим треугольник ABD — равнобедренный т.к. BP — биссектриса и высота ⇒ BD = BA и BP — медиана т.е. AP = PD = 24 : 2 = 12
2) BC = 2BD т.к. BD = AB, то BC = 2AB
3) BE — биссектриса Δ ABC ⇒ AEAB = ECCB или AEEC = ABCB
ABCB = AB2AB = 12 ⇒ AEEC = 12 т.к. AC = AE + EC, то AC = 3AE
4) Дополнительное построение BK || AC, BK ∩ AD = K
BK = AC = 3AE
5) Δ APE ⁓ Δ KPB (по двум углам)
∠ BPK = ∠ APE = 90°
∠ A = ∠ K (накрест лежащие углы) ⇒ PEBP = AEBK = 13 ⇒ BP = 3PE.
Но BE = 24 (по условию)
BE = BP + PE = 24
3PE + PE = 24
4PE = 24
PE = 24 : 4 = 6, тогда BP = 3 × 6 = 18
6) Δ ABP (∠ P = 90°) по теореме Пифагора AB = √AP² + BP² = √12² + 18²
AB = √144 + 324 = √468 = √2² × 3² × 13
AB = 2 × 3√13 = 6√13
7) Δ APE (∠ P = 90°) по теореме Пифагора AE = √AP² + PE² = √12² + 6²
AE = √144 + 36 = √180
AE = √2² × 3² × 5 = 2 × 3√5 = 6√5
8 ) BC = 2AB = 2 × 6√13 = 12√13
9) AC = 3AE = 3 × 6√5 = 18√5
Ответ: 6√13, 12√13, 18√5