Вариант 2, решение и ответы (ЕГЭ 2024 математика профильный уровень Ященко 36 вариантов ФИПИ)

Часть 1

Задание 1

Решение:

1) sinA = √1 — cos²A
sinA = √(1 — (2√55)²)
sinA = √(1 — 2025) = √(1 — 45) = √15 = 1√5

2) tgA = sinAcosA = 1√5 : 2√55 = 1√5 × 52√5
tgA = 12

3) tgA = BCAC = 3AC
12 = 3AC
AC = 2 × 3 = 6

Ответ: 6

Задание 2

Решение:

2a➔{2 × 4; 2 × (-6)} = {8; -12}
b➔{3; 7}

2a➔ × b➔ = 8 × 3 — 12 × 7 = 24 — 84 = -60

Ответ: -60

Задание 3

V_{воды было} = 6 см³
h — высота была

V_{воды стало} = ? см³
1.6h — высота стала
ΔV — ?
Решение:
1) S_{основания цилиндрического сосуда} × h = 6 первоначально
2) S_{основания цилиндрического сосуда} × 1.6h = 6 × 1.6 = 9.6
3) ΔV = 9.6 — 6 = 3.6 см³ объем детали

Ответ: 3.6 см³

Задание 4

Уругвай — 8 человек
Чили — 7 человек
Парагвай — 5 человек
Решение:
P_Чили = 78 + 7 + 5 = 720 = 0.35

Ответ: 0.35

Задание 5

1 полка: 25 блюдец = 16 красных + 9 синих
2 полка: 25 чашек = 13 красных + 12 синих

Решение:

1) Одна чайная пара синего цвета
P₁ = (925 × 1224) × (1225 × 1124) = 3 × 112 × 25 × 25

2) Одна чайная пара красного цвета
P₂ = (1625 × 1524) × (1325 × 1224) = 135 × 25

3) Две чайные пары разных цветов
P₃ = 2 × (1625 × 924) × 2 × (1325 × 1224) = 4 × 3 × 1325 × 25

4) P = P₁ + P₂ + P₃
P = 3 × 11 + 13 × 10 + 4 × 3 × 13 × 22 × 25 × 25 = 0.38

Ответ: 0.38

Задание 6

Решение:

2^{log₁₆(5x + 4)} = 5
2^{log₁₆(5x + 4)} = 2^log₂5
log₁₆(5x + 4) = log₂5
log_2⁴(5x + 4)¹ = log₂5
14log₂(5x + 4) = log₂5 умножим обе части равенства на 4
log₂(5x + 4) = 4log₂5
log₂(5x + 4) = log₂5⁴
5x + 4 = 625
5x = 621
x = 124.2

Ответ: 124.2

Задание 7

Решение:
(125⁷)³ : (25⁴)⁸ = 5^3×7×3 : 5^2×4×8 = 5⁶³ : 5⁶⁴ = 5^63-64 = 5^-1 = 15 = 0.2
Ответ: 0.2

Задание 8

Решение:
f(x) убывает ⇒ f'(x) < 0, x ∈ Z
f'(x) < 0 при x₁ = -6, x₂ = -5, x₃ = -4, x₄ = -1, x₅ = 1, x₆ = 2
Сумма этих чисел -6 + (-5) + (-4) + (-1) + 1 + 2 = -13
Ответ: -13

Задание 9

H(t) = H₀ — √2gH₀ × kt + g2k²t²
H₀ = 20 м
k = 1200
g = 10 м/c²
t — ?с 14H₀ останется

Решение:
14H₀ = H₀ — √2 × 10 × 20 × 1200t + 102 × (1200)²t²
14 × 20 = 20 — √400 × 1200t + 5 × 140000t²
5 = 20 — 20200t + 18000t²
18000t² — 110t + 15 = 0 умножим обе части уравнения на 8000
t² — 800t + 120000 = 0
D4 = 160000 — 120000 = 40000 = 200²
t_1,2 = 400 ± 200
t₁ = 400 — 200 = 200 секунд — меньшее время
t₂ = 400 + 200 = 600 секунд
Через 400 секунд воды в баке не останется т.е. H = 0
400с < 600с
Ответ: 200

Задание 10

Решение:

t₂ < t₁ на 2 минуты
t₁ — t₂ = 2 мин
120x — 2 — 120x = 2
120x — 120(x — 2) = 2x(x — 2)
120x — 120x + 240 = 2x² — 4x
2x² — 4x — 240 = 0 разделим на 2 обе части уравнения
x² — 2x — 120 = 0
D4 = 1 + 120 = 121 = 11²
x_1,2 = 1 ± 11
x₁ = 1 + 11 = 12(л/мин)
x₂ = 1 — 11 = -10 что меньше 0

Ответ: 12

Задание 11

Решение:
x — ?
f(x) = 8 Пусть A(2; 1), B(-3; 3)
f(x) = kx + b — линейная функция
1) Подставим координаты точек в формулу, получим систему

1 = k × 2 + b
3 = k × (-3) + b

2k + b = 1 (1)
-3k + b = 3 (2)
Вычтем (2) — (1)

-5k = 2 ⇒ k = —25 = -0.4
Подставим k = -0.4 в (1), получим 2 × (-0.4) + b = 1
b = 0.8 + 1
b = 1.8

2) Составим функцию f(x) = -0.4x + 1.8

3) Найдем x при котором f(x) = 8
8 = -0.4x + 1.8
0.4x = -8 + 1.8
0.4x = -6.2
x = -15.5

Ответ: -15.5

Задание 12

x_max — ?
y = (x — 14)²e^26-x
Решение:
y’ = 2(x — 14) × e^26-x — (x — 14)² × e^26-x
y’ = (x — 14) × e^26-x × (2 — (x — 14))
y’ = (x — 14) × e^26-x × (2 — x + 14)
y’ = (x — 14) × e^26-x × (-x + 16)
y’ = 0 при (x — 14)(-x + 16) = 0, e^26-x > 0
x₁ = 14
x₂ = 16

X_max = 16

Ответ: 16

Часть 2

Задание 13

Решение:
sin²x + cosx — cosx × cos2x = 0
sin²x + cosx(1 — cos2x) = 0
sin²x + cosx × 2sin²x = 0
sin²x(1 + 2cosx) = 0

sin2x = 0	или	1 + 2cosx = 0
1 — cos2x2 = 0 1 — cos2x = 0 cos2x = 1 2x = 2πn, n ∈ Z x = πn, n ∈ Z x1 = -2π x2 = -π — π3 = —4π3 x3 = -π		2cosx = -1 cosx = —12 x = —2π3 + 2πn, n ∈ Z x = 2π3 + 2πn, n ∈ Z

Ответ: a) πn, n ∈ Z
±2π3 + 2πn, n ∈ Z
б) -2π; —4π3; -π

Задание 15

Решение:

3^{2√x — 10} + 6561 × 12^{√x — 4} < 3^2√x + 16 × 12^{√x — 6}
6561 × 12^√x × 12^-4 — 16 × 12^√x × 12^-6 < 3^2√x — 3^2√x × 3^-10
12^√x × 12^-4(3⁸ — 4² × 12^-2) < 3^2√x(1 — 3^-10)
12^√x × 12^-4(3⁸ — 4² × 3^-2 × 4^-2) < 3^2√x(1 — 3^-10)
12^√x × 12^-4 × 3⁸(1 — 3^-10) < 3^2√x(1 — 3^-10)
12^√x × 12^-4 × 3⁸ < 3^2√x
12^√x × 3^-4 × 4^-4 × 3⁸ < (3²)^√x
12^√x × (34)⁴ > 9^√x разделим обе части неравенства на 9^√x > 0
(129)^√x × (34)⁴ < 1 разделим обе части неравенства на (34)⁴
(43)^√x < (43)⁴ ⟺

x ≥ 0
√x < 4

x ≥ 0
x < 16

Ответ: [0; 16)