Вариант 2, решение и ответы (ОГЭ 2024 математика Ященко 36 вариантов ФИПИ)

Часть 1

Задание 1

Решение:
По таблице 1 выбираем размеры в порядке возрастания
А6 ➔ 105 × 148 ➔ 3
А5 ➔ 148 × 210 ➔ 1
А4 ➔ 210 × 297 ➔ 4
А3 ➔ 297 × 420 ➔ 2

Ответ: 3142

Задание 2

Решение:
? листов А5 из 1 листа А2
А2 = 2А3 = 2 × 2А4 = 2 × 2 × 2А5 = 8А5 (по рисунку)

Ответ: 8

Задание 3

Решение:
Меньшая сторона А1? Это большая сторона А2 = 2 большим сторонам А4 = 297 × 2 = 594 мм

Ответ: 594

Задание 4

Решение:
S_А6 — ? см²
Размеры А6 = 105 × 148 = 15540 мм²
(из №1) 15540 мм² = 155.4 см²

Ответ: 155.4

Задание 5

Решение:
меньшая сторона А2большая сторона А2 = большая сторона А3две большие стороны А4 = 420 мм2 × 297 мм = 0.(70) ≈ 0.7

Ответ: 0.7

Задание 6

Решение:
4.23 — 23 = 4.22 33 — 23 = 4.2213 = 415 : 213 = 215 × 37 = 3 × 35 × 1 = 95 = 145 = 1.8

Ответ: 1.8

Задание 7

Решение:
4 < a < 5 по рисунку
1) 4 — a > 0 ⇒ a < 4 неверно
2) 4 — a < 0 ⇒ a > 4 верно
3) a — 3 < 0 ⇒ a < 3 неверно
4) a — 6 > 0 ⇒ a > 6 неверно

Ответ: 2

Задание 8

Решение:
√(-b)⁸ × b² = √b⁸ × b² = √b¹⁰ = b⁵
2⁵ = 32
Ответ: 32

Задание 9

Решение:
5x² — 2x — 3 = 0
a = 5, b = -2, c = -3
D = b² — 4ac = (-2)² + 4 × 5 × 3
D = 4 + 60 = 64
x_1,2 = 2 ± 810
x₁ = 2 + 810 = 1010 = 1
x₂ = 2 — 810 = —610 = -0.6

Ответ: -0.6

Задание 10

Всего 40 машин
Черных — 7 шт.
Желтых — 19 шт.
Зеленых — 14 шт.
Решение:
P_{зеленое такси} = 1440 = 720
P = 0.35

Ответ: 0.35

Задание 11

Решение:
y = ax² + bx + c
a > 0 ветви вверх
a < 0 ветви вниз
c > 0 y > 0 при x = 0
c < 0 y < 0 при x = 0

Ответ: 312

Задание 12

Решение:
P = I²R
P = 144.5 Вт
I = 8.5 А
144.5 = 8.5² × R ⇒ R = 144.58.5²
R = 144.572.25 = 2

Ответ: 2

Задание 13

Решение:
5x — 3(5x-8) < -7
5x — 15x + 24 < -7
-10x < -31
x > 3.1
(3.1; + ∞)

Ответ: 4

Задание 14

Решение:

5 × 8 мин = 40 мин.
160 + 80 + 40 + 20 + 10 = 310 (мг)

Ответ: 310

Задание 15

Δ ABC — равносторонний треугольник
BM -медиана ⇒ высота
Решение:

h = a√32 = BM = 12√3
a√32 = 12√3
a2 = 12
a = 24

Ответ: 24

Задание 16

ABCD — трапеция описана около окружности.
Решение:

AD и BC — основания трапеции
Суммы противоположных сторон равны AD + 20 = 15 + 17
AD = 15 + 17 — 20 = 12
Ответ: 12

Задание 17

Решение:

1) ∠ B + ∠ C = 218°
∠ B = ∠ C = 218° : 2 = 109°
2) ∠ A = 180° — 109° = 71°

Ответ: 71

Задание 18

Решение:

S_ABCD = CD × AH
S_ABCD = 4 × 3 = 12

Ответ: 12

Задание 19

Решение:
1) ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D
Верно

2) Δ ABC — равнобедренный с основание AC, биссектриса AD, проведенная к боковой стороне не является медианой.
Неверно.

3) S_ABC = 12AC × BC
Δ ABC — прямоугольный треугольник
AC и BC — катеты
Неверно.

Ответ: 1

Часть 2

Задание 20

Решение:
x³ + 5x² — 4x — 20 = 0
x²(x + 5) — 4(x + 5) = 0
(x + 5)(x² — 4) = 0
(x + 5)(x — 2)(x + 2) = 0
x₁ = -5
x₂ = 2
x₃ = -2

Ответ: -5; -2; 2

Задание 21

Решение:

t₁ < t₂ на 2 часа
t₂ — t₁ = 2
475x — 18 — 475x = 2
НОЗ: x(x — 18)
475x — 475(x — 18) = 2x(x — 18)
475x — 475x + 8550 = 2x² — 36x
2x² — 36x — 8550 = 0 разделим обе части равенства на 2
x² — 18x — 4275 = 0
D4 = 81 + 4275 = 4356 = 66²
x_1,2 = 9 ± 66
x₁ = 9 + 66 = 75 км/ч
x₂ = 9 — 66 = -57 что меньше 0

Ответ: 75

Задание 22

Решение:
1) Преобразуем функцию, раскроем знак модуля
Если x ≥ 0, то y = (0.5x² + 0.5x)xx + 1
y = 0.5x²(x + 1)x + 1 = 0.5x² при x ≠ -1
Если x < 0, то y = (0.5x² + 0.5x) × (-x)x + 1
y = -0.5x²(x + 1)x + 1 = -0.5x² при x ≠ -1

2) Построим график функции

0.5x², x ≥ 0
-0.5x², x < 0, x ≠ -1

y(-1) = -0.5


Ответ: при m = -0.5

Задание 23

Δ ABC вписан в окружность R = 10
∠ B = 61°
∠ C = 89°
Решение:
1) ∠ A = 180° — 61° — 89° = 30°
2) По теореме синусов
ВСsinA = 2R
ВСsin30° = 2R
ВС12 = 2R
BC = R ⇒ BC = 10

Ответ: 10

Задание 24

MNPK — трапеция

Решение:
NP и MK — основания трапеции
MP ∩ NK = F диагонали
1) Δ MNK и Δ MPK имеют равные высоты поэтому
S_MNK = S_MPK
2) S_MNF = S_MNK — S_MFK
3) S_PKF = S_MPK — S_MFK
4) т.к. S_MNK = S_MPK (по доказанному в пункте 1) то S_MNF = S_PKF что и требовалось доказать.
Ответ: S_MNF = S_PKF

Задание 25

Δ ABC, BE — биссектриса
AD — медиана, BE ⊥ AD, BE = AD = 20
Решение:

1) Рассмотрим треугольник ABD, BP — биссектриса и высота ⇒ треугольник равнобедренный с основанием AD ⇒ BD = AB и BP — медиана т.е. AP = PD = AD : 2 = 20 : 2 = 10
Пусть BD = DC = AB = x, тогда BC = 2x

2) По свойству биссектрисы в Δ ABC имеем
BCBA = CEAE = 2xx = 2 т.е. CEAE = 21 ⇒ CE = 2AE
Пусть AE = y, тогда CE = 2y

3) Дополнительное построение: BK || AC, BK = AC, BK = 3y

4) Δ APE ∼ Δ KPB (по двум углам)
∠ P = 90°, ∠ A = ∠ K накрест лежащие углы.
Из подобия треугольников ⇒ AEBK = PEPB = y3y = 13 ⇒ PE = 14BE = 14 × 20 = 5
тогда BP = 3 × PE = 3 × 5 = 15

5) Δ ABP (∠ P = 90°) по теореме Пифагора
AB = √AP² + BP² = √10² + 15² = √100 + 225
AB = √325 = 5√13

6) BC = 2AB = 2 × 5√13 = 10√13

7) Δ APE (∠ P = 90°) по теореме Пифагора
AE = √AP² + PE² = √10² + 5² = √100 + 25
AE = √125 = 5√5
AC = 3AE = 3 × 5√5
AC = 15√5

Ответ: 5√13; 10√13; 15√5